Descomposición en valores singulares de matrices simétricas

Question

Intento comprender la SVD de una matriz simétrica real.

Sea $A$ ser nuestro $n\times n$ matriz simétrica real. Y sea una SVD $A=U\Sigma V^T$ .

Sea $u_i$ y $v_i$ sean las columnas de $U$ y $T$

En el comentario https://math.stackexchange.com/a/22832/764199 dice $u_i=\pm v_i$ .

No entiendo por qué es así.

Por ejemplo https://math.stackexchange.com/a/3683742/764199 dice columnas de $U$ y $V$ son vectores propios de $A^2$ por lo que son vectores propios de $A$ . Pero esto no es correcto en general.

Adición:

Por ejemplo, en https://math.berkeley.edu/~hutching/teach/54-2017/svd-notes.pdf En el ejemplo 2.2 hay la siguiente explicación:

Si $A$ es una matriz simétrica real, entonces podemos obtener una SVD a partir de la descomposición de valores propios $A=PDP^{-1}$ . En ese caso, podemos obtener $v_i=\pm u_i$ . Pero, ¿cómo sabemos que podemos obtener cada SVD a partir de una descomposición de valores propios?

Adición 2: Ya que podemos decirlo para la SVD obtenida a partir de la descomposición de valores propios, basta con demostrar que, como está escrito en la página de Wikipedia, "la SVD es única hasta transformaciones unitarias arbitrarias aplicadas uniformemente a los vectores columna de ambas $U$ y $V$ abarcando los subespacios de cada valor singular" para completar nuestra demostración. https://en.wikipedia.org/wiki/Singular_value_decomposition

Pero no he podido encontrar la prueba de esa afirmación de "uniquenes hasta".

Answer 1

Sin condiciones adicionales, la afirmación es falsa. He aquí dos contraejemplos sencillos:

1. $U0V^T$ es una SVD de la matriz cero para cualquier par de matrices ortogonales $U$ y $V$ .
2. $IIA^T$ es una SVD de $A=\frac{1}{\sqrt{2}}\pmatrix{1&1\\ 1&-1}$ .

Sin embargo, la afirmación es cierta cuando todos singular valores de $A$ son distintos. Dado que $A$ es simétrico, tenemos $U\Sigma^2U^T=AA^T=A^2=A^TA=V\Sigma^2V^T$ . Por lo tanto, para cada $j$ , $u_j$ y $v_j$ son vectores propios unitarios de $A^2$ correspondiente a la $j$ -ésimo mayor valor propio. Sin embargo, $A^2$ tienen valores propios distintos (porque sus valores propios son los valores singulares de $A$ ). Por lo tanto sus eigenspaces son unidimensionales. Por lo tanto $u_j=\pm v_j$ .

Alternativamente, como las matrices semidefinidas positivas tienen raíces cuadradas semidefinidas positivas únicas, la igualdad $U\Sigma^2U^T=V\Sigma^2V^T$ implica que $B:=U\Sigma U^T=V\Sigma V^T$ . Por lo tanto $u_j$ y $v_j$ son vectores singulares unitarios de $B$ correspondiente al valor singular $\sigma_j$ . Como todos los valores singulares de $B$ son diferentes (porque los valores singulares de $B$ no son más que los valores singulares de $A$ ), los espacios singulares de $B$ son unidimensionales. Por lo tanto $u_j=\pm v_j$ .

Un tercer argumento es observar que $U\Sigma^2U^T=V\Sigma^2V^T$ implica $(V^TU)\Sigma^2=\Sigma^2(V^TU)$ . Dado que todas las entradas diagonales de $\Sigma^2$ son distintos, $D:=V^TU$ debe ser una matriz diagonal. Como $V^TU$ es ortogonal, las entradas diagonales de $D$ debe ser $\pm1$ . Por lo tanto $u_j=\pm v_j$ .