Hallar el resto cuando $3^{101}$ se divide por $10$

Question

Hallar el resto cuando $3^{101}$ se divide por $10$

Ans: $3$

Mi enfoque 1: Teorema del resto

Cuando aplico el teorema del resto resuelvo como $3$ ^ $2$ . $50$ + $1$ / $3^2$ - $(-1)$ = $3$ ( $-1)^{50}$ =- $3$ / $10$ = $3$ @Editar

Enfoque2: Método de los patrones:

$3^4$ . $25$ + $1$ = $3^\frac{1}{10}$ = $3$

Estoy obteniendo respuestas diferentes a través de ambos enfoques.

¿Cuál es mi error en †el primer método y cuál preferir al resolver problemas?

Answer 1

Sugerencia : $3^2 = -1$ (mod $10$ Por lo tanto, ¿qué se puede decir de $3^{100}$ ?

Edita: Por la observación anterior , $3^{100}=(3^2)^{50} =1$ (mod10).Por lo tanto, ¿qué se puede decir de $3^{101}$ ?