Regla de elección que maximiza las preferencias

Question

Definición: A Regla de elección es una función $ C: \mathcal{P}(X) \to \mathcal{P}(X) $ tal que $ C(B) \subset B, $ $\forall B \in \mathcal{P} (X) $ y $ C(B) \neq \emptyset $ si $ B \neq \emptyset $

La interpretación es que $C(B)$ es el conjunto de opciones que pueden elegirse en el menú de $B$ opciones.

Sea $C^*(B)$ sea la clase de reglas de elección tales que $C^*(B)=C^*(B,\succsim)=\{x\in B : \forall y \in B, x \succsim y \}$

Es lo que se denomina la Regla de Elección de Maximización de Preferencias

Y definir $ \displaystyle S^* = \cap_{x \in B} \{y \in B: y \succsim x \} $

Mostrar $S^* = C^*(B)$

Consejos y pistas de cómo mostrar esto por favor, estoy confundido cómo las x e y pueden cambiar de posición yendo de un lado a otro.

Answer 1

Parece que las variables elegidas están causando cierta confusión, así que permítanme reescribir el problema ligeramente para disipar este problema.

Defina $C^*(B)=\{y\in B\colon \forall x \in B(y\succsim x)\}$ (tenga en cuenta que se trata exactamente del mismo conjunto que en su pregunta, a pesar de que $x$ y $y$ habiendo intercambiado sus papeles) y $S^*=\bigcap\limits_{x\in B}\left(\{y\in B\colon y\succsim x\}\right)$ .

Demostrar que $C^*(B)=S^*$

Comience por señalar que $\forall s\left(s\in S^*\iff \forall x\in B\left(s\in \{y\in B\colon y\succsim x\}\right)\right)$

$\bbox[5px,border:2px solid #000000]{C^*(B)\subseteq S^*}$

Sea $y\in C^*(B)$ . Se obtiene $y\in B$ y $\color{blue}{\forall x\in B(y\succsim x)}$ .

(Recuerde que el objetivo es demostrar que $\forall x\in B\left(y\in \{y\in B\colon y\succsim x\}\right)$ ).

Toma $x\in B$ . Debido a la hipótesis azul anterior, $y\succsim x$ sigue. Pero esto significa que $y\in \{y\in B\colon y\succsim x\}$ . Desde $x$ era arbitraria, esto significa que $y\in S^*$ .

Te dejo la otra inclusión.

Answer 2

Gracias, la segunda respuesta me ayuda a aclarar algunas cosas, intentaré responder a la otra dirección con mis comentarios a ver si lo entiendo bien.

$\boldsymbol{\Leftarrow C^*(B) \subseteq S^*}$

Sea $s \in C^*(B)$ Entonces $s \in \{z \in B: \forall y \in B, z \succsim y \}$ Esto dice que z son todos los elementos de B que son preferidos a todos los elementos y de B, y s es uno de estos elementos equivalente a z.

Queremos demostrar $s \in S^*$ lo que puede hacerse mostrando $s \in \cap_{y \in B} \{ z \in B: z \succsim y \}$ es decir $\forall y \in B, s \in B$ y $s \succsim y.$ Aquí hemos sustituido y por z, y x por y en la definición de $S^*$ .

Toma $y \in B$ por la hipótesis que esto nos da $s \in B$ y $\forall y \in B, s \succsim y$ según se desee. Por favor, explique qué significa "tomar", ¿es como considerar el elemento arbitrario y en un conjunto arbitrario B?