Sistema de ecuaciones de un concurso

Question

Sea $n$ sea un número entero positivo. Encontrar todas las soluciones reales $a_1,a_2,\dots,a_n $ tal que

$$a_1^2+a_1-1=a_2$$ $$a_2^2+a_2-1=a_3$$ $$a_3^2+a_3-1=a_4$$ $$\dots$$ $$a_{n-2}^2+a_{n-2}-1=a_{n-1}$$ $$a_{n-1}^2+a_{n-1}-1=a_n$$ $$a_{n}^2+a_{n}-1=a_1$$

Mi intento:

Como es un problema de un concurso he probado a añadirlo todo pero lo único que me sale es

$$a_1^2+\dots a_n^2=n$$

También intenté utilizar la desigualdad AM-GM, pero no conseguí nada más que $1\geq \sqrt[n]{a_1^2a_2^2\dots a_n^2}$ .

Pero ninguno sirve para resolverlo. ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

La solución estaba al alcance de la mano.

En primer lugar, observe que siempre ocurre que $a_i\neq 0$ o las ecuaciones no tendrán sentido.

Basta con reescribir cada ecuación y obtener $a_i^2+a_i=a_{i+1}+1$ que en factores sería $a_i(a_i+1)=a_{i+1}+1$ .

Dado que necesita tener un producto de la $a_i$ para hacer uso del $n$ -enésima raíz que tienes, simplemente multiplica todas las ecuaciones, y obtendrás

$$a_1a_2\dots a_n(a_1+1)(a_2+1)(\dots)(a_n+1)=(a_1+1)(a_2+1)(\dots)(a_n+1)$$

Ahora bien, si ninguno de los lados es cero (es decir $a_i=-1$ para al menos uno de los valores), se ve que $\prod a_i=1$ y luego $\prod a_i^2=1$ .

Usando esto en tu desigualdad, tienes que $1\geq 1$ pero también sabes que la desigualdad AM-GM es una igualdad si y sólo si $a_i=a_j$ para todos los $i,j$ .

Compruebe lo que ocurre cuando $a_i=a_{i+1}$ y se obtiene que $a_i^2=1$ por lo que (siendo todos los $a_i$ 's igual) $a_i=\pm 1$ .

El caso $a_i=-1$ que evitamos al dividir en la ecuación no es un problema ya que podemos considerar este caso simplemente evaluando $a_i=-1$ y verás que de nuevo obtienes todos los valores iguales a $-1$ como en la primera parte.

Así que las únicas soluciones encontradas son $a_1=a_2=\dots=a_n=\pm1$ .