Primes con más unos que ceros en su expansión binaria

Question

Esta pregunta también está motivada por el desarrollo en torno a mi vieja pregunta de MO sobre la aleatoriedad de Mobius . También está motivada por Pregunta de Joe O'Rourke sobre la búsqueda de números primos en conjuntos dispersos .

Sea $A$ sea el conjunto de todos los números naturales con más unos que ceros en su expansión binaria. ¿Hay infinitos primos en $A$ ?

En términos más generales, para una función $f(n)$ definida sobre los números naturales sea $A[f]$ denota el conjunto de números enteros con $n$ dígitos y al menos $n/2+f(n)$ unos, por $n=1,2,...$ . ¿Tiene $A[f]$ contiene infinitos primos?

Bourgain demostró la aleatoriedad de Mobius de $A$ y esto parece estrechamente relacionado con esta pregunta. Pero no estoy seguro de la conexión exacta. (De hecho, Bourgain demostró la aleatoriedad de Mobius para cada $A$ descrito por una función booleana monótona equilibrada de los dígitos binarios).

Mostrando infinitos primos para sparse $[f]$ sería interesante. Probar esto para $f(n)=\alpha n$ donde $\alpha>0$ es pequeño sería estupendo. Por supuesto, si $f(n)=n/2$ estamos hablando del primo de Mersenne así que no esperaría una respuesta aquí. (Mostrando infinitos primos para $A$ de menor tamaño que $\sqrt n$ cruzará alguna barrera notable).

Se puede plantear una pregunta similar sobre los conjuntos equilibrados (y desequilibrados) descritos por $AC^0$ -fórmulas. Esto corresponde a Ben Green $AC^0$ teorema de los números primos, pero tampoco aquí estoy seguro de lo que hará falta para pasar de la aleatoriedad de Mobius a la infinitud de los primos.

Otra pregunta relacionada: ¿Hay primos de cada peso Hamming?

Answer 1

La conjetura de la OP se deduce del teorema 1.1 de "Primes con una suma media de dígitos" por Drmota, Mauduit y Rivat. Demuestran que el número de primos $\le x$ con $k$ dígitos binarios viene dado por $$\frac{\pi(x)}{\sqrt{(\pi/2) \log x }}\left(e^{-\frac{2(k-\frac{1}{2}\log x)^2}{\log x}}+O(\log x^{-\frac{1}{2}+\epsilon})\right).$$ Así que enparticular esto muestra el resultado más fuerte en su pregunta correspondiente a la función $f(n)=\alpha \sqrt{n}$ . (Por lo que se tienen infinitos primos con $\frac{n}{2}+\alpha\sqrt{n}$ unos en su expansión binaria). Los autores dicen que no fueron capaces de obtener ningún límite para $f(n)=\alpha n$ con cualquier $\alpha > 0$ .

Answer 2

Podemos tomar $f(n)=\alpha n$ para cualquier $\alpha<0.7375$ . En particular, el conjunto de primos con más del doble de unos que de ceros en su expansión binaria es infinito.

He publicado un breve artículo en el arXiv que trata exactamente este tipo de problema. Sea $s_2(n)$ denotan la suma de dígitos base $2$ . Desde $x$ tiene aproximadamente $\log_2(x)$ dígitos binarios, estamos viendo cuándo $s_2(n)\geq \alpha \log_2 (n)$ . En esa nota de 4 páginas demostramos que

$$\left|\left\{ p\leq x,\ p\ \text{prime}\ : s_2(n)\geq \alpha\log_2(x) \right\} \right|\gg_{\epsilon}\ x^{2\left(1-\alpha\right)}e^{-c\left(\log x\right)^{1/2+\epsilon}}.$$

Además, este resultado se extiende de forma natural a la base $q$ con lo que se obtiene el límite

$$\left|\left\{ p\leq x,\ p\ \text{prime}\ :\ s_{q}(p)\geq\alpha(q-1)\log_{q}(x)\right\} \right|\gg_{\epsilon}\ x^{2\left(1-\alpha\right)}e^{-c\left(\log x\right)^{1/2+\epsilon}}$$ donde $s_q(n)$ es la suma de los dígitos de $n$ en base $q$ .

La prueba aprovecha el hecho de que la distribución multinomial tiene picos pronunciados. El número $0.7375$ aparece porque $1-0.525/2=0.7375$ y $0.525$ es el exponente que aparece en el trabajo de Baker Harman y Pintz sobre huecos primos.

Answer 3

Si la constante de Linnik es dos, como se conjetura (y algo así se deduce de GRH), entonces el menor primo congruente con $2^n-1$ modulo $2^n$ tiene más unos que ceros en su expansión binaria. Como la constante de Linnik se reduce a $5.2$ incondicionalmente, obtienes algo un poco más débil incondicionalmente también.

Answer 4

Supongo que esto se desprenderá de la plausible conjetura de Cramer sobre la brecha prima de $O(\log^2{p_n})$ .

Sea $n=(2^k-1)2^m$ con $m < k$ y $2^m>C\log^2{n}$ (en realidad $ m > \log{(C\log^2({2^m(2^k-1))}}/\log{(2)} $ será suficiente).

$n$ tiene $k$ unos y (muchos) menos ceros. El intervalo $(n,n+C\log^2{n})$ con $2^m>C\log^2{n}$ contendrá un primo $p=n+\delta$ . $\delta$ contribuirá con al menos un $1$ a los bits cero de $n$ quedándose con todas. Hay infinitas opciones para $m,k$ produciendo primos distintos..

Conjetura de Legendre probablemente también lo haga.

Obsérvese que la elección doblemente logarítmica de $m$ aporta relativamente pocos ceros.

Añadido Así que si usted cree que la conjetura de Cramer, hay infinitamente muchos $n$ para lo cual $n$ los primos de bits sólo tienen $O(\log{n})$ ceros en su expansión binaria.

(btw, estaría muy interesado en incondicional respuesta a la pregunta).