Estoy tratando de demostrar que el tensor de tensión-energía de Maxwell, $$T_{\mu\nu} = \frac{1}{4\pi}\left( F_{\mu\rho} F^{\rho}{}_{\nu} - \frac{1}{4}\eta_{\mu\nu}F_{\rho \sigma} F^{\rho\sigma} \right),$$ cumple la condición de energía nula, es decir, que $$T_{\mu \nu}k^\mu k^\nu \geq 0$$ para todos los vectores nulos $k^\mu$ . Veo que el segundo término desaparece al contraerse con $k^\mu k^\nu$ pero me cuesta ver cómo manipular el primer término.
Respuestas
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Nickolas Alves
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128
Fíjate que lo que intentas demostrar es que $k^\mu F_{\mu}{}^\nu$ es un vector espacial (en esta respuesta, asumo que el vector $-+++$ convención métrica). Por lo tanto, centrémonos en este vector en particular.
Dado $k^\mu$ en algún punto, elija una opción de coordenadas cartesianas tal que $k^\mu = (1,1,0,0)^\intercal$ que siempre es posible. En esta elección de coordenadas, el tensor de intensidad de campo se lee (unidades con $c=1$ ) $$F_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & -E_1 & -E_2 & -E_3 \\ E_1 & 0 & B_3 & -B_2 \\ E_2 & -B_3 & 0 & B_1 \\ E_3 & B_2 & -B_1 & 0 \end{pmatrix}.$$
Observe entonces que $$k^\mu F_{\mu}{}^{\nu} = \begin{pmatrix} -E_1 \\ -E_1 \\ -E_2 + B_3 \\ -E_3 - B_2 \end{pmatrix}.$$
Un cálculo sencillo muestra que $k^\mu F_{\mu}{}^{\nu} k^\rho F_{\rho}{}_{\nu}$ es la suma de dos términos explícitamente no negativos.
jave.web
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154
Mientras que la respuesta proporcionada por Nickolas Alves debería ser suficiente, aquí hay una prueba alternativa de NEC satisfecha por el campo electromagnético libre usando la idea del formalismo 2-spinor (y por lo tanto, esta prueba es muy particular para 3+1 dim espacio-tiempo, ver [1] )
La idea es que un vector nulo real $k^a$ puede escribirse como producto tensorial de dos 2-espinores, siendo uno el conjugado del otro:
$k^a\leftrightarrow k^A\bar{k}^{A'}$
donde $k^A$ se define hasta un factor de fase global. Obsérvese que $k^ak_a\leftrightarrow k^Ak_A\bar{k}^{A'}\bar{k}_{A'}=0$ que se deduce del hecho de que $k^Ak_A=\epsilon_{AB}k^Ak^B= \epsilon_{[AB]}k^Ak^B=0$
El tensor de Maxwell $F_{ab}$ en este formalismo puede escribirse en términos de 2-espinores simétricos $\phi_{AB}$ como sigue: $F_{ab}\leftrightarrow \phi_{AB}\epsilon_{A'B'}+c.c.$
Resulta que el tensor de energía de tensión $T_{ab}$ del campo EM puede escribirse simplemente como (véanse los capítulos 3 y 5 de [1])
$T_{ab}\leftrightarrow\phi_{AB}\bar{\phi}_{A'B'}$
La condición de energía nula se deduce de forma natural: $T_{ab}k^ak^b\leftrightarrow |\phi_{AB}k^Ak^B|^2\geq 0$
[1] R. Penrose, W. Rindler, "Spinors and Space-Time. Volume-I: Two-Spinor Calculus and Relativistic Fields", Cambridge University Press (1984)
