¿Es correcto el siguiente argumento de "conectividad"?

Question

¿Es correcto el siguiente argumento? Si no lo es, ¿cómo se puede arreglar?

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Problema: Demostrar que $X$ está conectado, donde $X = \{z: |z| \leq 1\} \cup \{z: |z - 2| < 1\}.$

Argumento:

La ecuación $|z| \leq 1$ define un disco unitario centrado en el origen mientras que la ecuación $|z-2| < 1$ define un disco unitario (que no contiene su frontera) centrado en $(2, 0).$

Supongamos que $U,V$ son dos conjuntos abiertos que conectan $X.$ Entonces \begin{equation} U \cap X \neq \varnothing, V \cap X \neq \varnothing, \ \mathrm{and} \ X \subseteq U \cup V \implies \ U \cap V \neq \varnothing. \end{equation}

En $X$ como en el problema, $U = \{z: |z| \leq 1\},$ y $V = \{z: |z - 2| < 1\},$ vemos que $U \cap X \neq \varnothing, V \cap X \neq \varnothing, \ \mathrm{and} \ X = U \cup V.$ Así $U \cap V \neq \varnothing,$ con el único punto en común entre $U$ y $V$ en $(1,0).$ Así que $X$ está conectado.

Answer 1

$X$ está conectada por caminos pares y, por tanto, está conectada. Tomemos dos puntos cualesquiera $A,B$ en $X$ . Si pertenecen al mismo círculo, únelos con el segmento de recta que los separa. Si pertenecen a circunferencias distintas, une cada una de ellas con un segmento de recta hasta el punto $P$ donde los dos círculos se tocan $P(1,0)$ .