Si $(x_n)$ es una secuencia convergente en $[a,b]$ y $R$ su alcance. Si $h$ está limitada $ \implies h\chi_R$ integrable en $[a,b]$ y $\int_a^b h\chi_R=0$

Question

Si $(x_n)$ es una secuencia convergente en $[a,b]$ y $R$ su alcance. Demostrar que si $h$ es una función acotada en $[a,b] \implies h\chi_R$ es integrable en $[a,b]$ y $\int_a^b h\chi_R=0$

Esto es lo que tengo hasta ahora:

$g=h\chi_R$ está limitada. Consideremos la partición de $[a,b] \ P_n=\{a,a+\frac{b-a}{n},a+\frac{2(b-a)}{n},...,b\}$ .

Como no hay ninguna secuencia que toda la gama es $[a,b]$ . Entonces $R \subset [a,b]$ es decir, en todo el intervalo $I_j$ definido por $P_n, \ \exists x_j\in R$ tal que $g(x_j)=h(x_j)\chi_R=0$

Sin pérdida de generalidad, supongamos que $g(x)\geq0$ entonces:

1. $L(h\chi_R,P_n)=\sum m_j(h\chi_R,P_n)\Delta X_j=\sum 0 \cdot \frac{1}{n}=0$
2. $U(h\chi_R,P_n)=\sum M_j(h\chi_R,P_n)\Delta X_j=\sum_{x_j\in R}h(x_j)\cdot \frac{1}{n}+\sum_{x_j\notin R}0 \cdot \frac{1}{n}=\frac{1}{n}\sum_{x_j\in R}h(x_j)$

¿Cómo puedo continuar?

Answer 1

Sugerencia

Supongamos que $\{x_n\}$ converge a $a$ . Si el límite es $c \in (a,b)$ puede considerar $\int_a^c$ y $\int_c^b$ .

Para todos $0 \lt \epsilon \lt b-a$ , $R \cap (a+\epsilon,b)$ es finito como $\{x_n\}$ converge a $a$ . $\int_{a+\epsilon}^b h \chi_R = 0$ como $h \chi_R$ es siempre evanescente excepto en un número finito de puntos del intervalo $[a+\epsilon,b]$ .

Si $h$ está limitada por $M >0$ , tienes $-m \le h\chi_R \le M$ en $[a, a + \epsilon]$ .

A partir de los dos argumentos anteriores, construye una partición $P_n \equiv x_1 = a < x_2 = a + \epsilon < x_3 < \dots < x_n=b$ y mapas superior e inferior tales que la diferencia de las sumas Darboux superior e inferior sea menor que $3M \epsilon$ .

Como esto es cierto para todos $\epsilon >0$ se puede concluir que $h \chi_R$ es integrable de Riemann en $[a,b]$ y que su integral es igual a cero.