¿Se conoce alguna solución de forma cerrada para $y''yx+y'y-(y')^2x=x^3$ ?

Question

El título lo dice todo...

La ecuación $y''yx+y'y+(y')^2x=x^3$ pertenece a una clase DE conocida (listada en EqWorld).

La ecuación $y''yx+y'y-(y')^2x=x^3$ parece ser mucho más difícil de resolver...

¿Se conoce la solución analítica de esta ecuación?

Answer 1

Lo he resuelto. Efectivamente hay una solución de forma cerrada que se obtiene de la siguiente manera:

La ecuación es una ecuación homogénea generalizada, por lo que empezamos sustituyendo $$x \rightarrow kx, \qquad y \rightarrow k^my, \qquad y' \rightarrow k^{m-1}y', \qquad y'' \rightarrow k^{m-2}y''$$ y obtener $m=2$ porque $x^3$ se convierte en $k^3x^3$ en el lado derecho, y todos los sumandos del lado izquierdo tienen el factor común de $k^{2m-1}$ .

A continuación, sustituimos $x$ para $e^t$ y $y$ para $ze^{mt}$ es decir $y=ze^{2t}$

Teniendo en cuenta que $t_x'=\frac{1}{x}=e^{-t}$ y $(e^t)_x'=1$ escribimos $$\begin{equation} y_x'=z_t'e^{2t}t_x'+2ze^{2t}t_x'=e^{2t}(z_t'+2z)e^{-t}=e^t(z_t'+2z)\\ y_{xx}''=(z_t'+2z)+e^t(z_{tt}''t_x'+2z_t't_x')=z_t'+2z+z_{tt}''+2z_t'=z_{tt}''+3z_t'+2z\\ ze^{3t}(z'+2z)+ze^{3t}(z''+3z'+2z)-e^{3t}(z'^2+4zz'+4z^2)=e^3t\\ z(z'+2z)+z(z''+3z'+2z)-(z'^2+4zz'+4z^2)=1\\ zz''-z'^2=1 \end{equation}$$ La ecuación $zz''-z'^2=1$ permite reducir los pedidos mediante la subcontratación $z'=p(z)$ . Me saltaré la rutina y tomaré prestada la solución general de wolfram: $$\begin{equation} z_1(t) = \frac{1}{2} e^{-e^{c_1}t-2c_1-e^{c_1}c_2}(e^{2e^{c_1}(c_2 + t)}+e^{2c_1}) \\ z_2(t) = \frac{1}{2} (e^{-e^{c_1}t-2c_1-e^{c_1}c_2}+e^{e^{c_1}t+e^{c_1}c_2}) \end{equation}$$ Sólo queda realizar las sustituciones hacia atrás, $z\rightarrow y e^{-2t}$ y $e^t \rightarrow x$ para obtener nuestros formularios cerrados: $$\begin{equation} y(x) = \frac{1}{2}( x^{2-e^{c_1}}e^{-2c_1-c_2e^{c_1}}+ x^{2+e^{c_1}}e^{c_2e^{c_1}} )\\ y(x) = \frac{1}{2}( x^{2+e^{c_1}}e^{-2c_1+c_2e^{c_1}}+ x^{2-e^{c_1}}e^{-c_2e^{c_1}} ) \end{equation}$$ Podemos reescribirlo más si queremos: $$y(x) = \frac{1}{2}( x^{2\pm e^{c_1}}e^{-2c_1\pm c_2e^{c_1}}+ x^{2\mp e^{c_1}}e^{\mp c_2e^{c_1}} )$$

Puede haber erratas en la solución, pero he verificado las formas cerradas obtenidas en Mathcad, y efectivamente satisfacen la ecuación inicial.

Answer 2

No existe una solución de forma cerrada para la ecuación diferencial mencionada y, por lo general, ni siquiera una solución en términos de funciones estándar.

Muestreo de algunos valores iniciales para $y$ y $y'$ sin pérdida de generalidad, se puede tener una idea general de la función $y(x)$ donde parece existir una "dualidad" asintótica entre ellos y así se deriva (en una esencia) la incapacidad de describir la solución en términos de forma cerrada :

$\qquad \qquad \qquad \qquad$

La existencia de una solución, sin embargo, puede ser simplemente derivado por teoremas estándar o simplemente en un enfoque de análisis funcional.