Si $a_{1}=1$ y $b_{1}=2$ demuestre que $b_{5}-a_{5}<1/2^{45}$ . Necesito ayuda para interpretar la solución.

Question

Si $a_{1}=1$ y $b_{1}=2$ demuestre que $b_{5}-a_{5}<1/2^{45}$ .

$a_{n+1}=\sqrt{a_{n}b_{n}}$ y $b_{n+1}=\frac{1}{2}(a_{n}+b_{n})$ .

He conseguido averiguar que $b_{n+1}-a_{n+1}<\frac{1}{8}(b_{n}-a_{n})^{2}$ . Era la solución al final del libro. Sin embargo, no entiendo cómo esto se relaciona con la desigualdad que se va a mostrar.

Answer 1

En $$b_{n+1}-a_{n+1}<\frac{1}{8}(b_{n}-a_{n})^{2},\quad n\ge1,$$ se obtiene, con $n=1,2,3,4$ , $$\begin{align} b_{5}-a_{5}&<\frac{1}{8}(b_{4}-a_{4})^{2} \\\\&<\frac{1}{8^3}(b_{3}-a_{3})^{2} \\\\&<\frac{1}{8^7}(b_{2}-a_{2})^{2} \\\\&<\frac{1}{8^{15}}(b_{1}-a_{1})^{2}. \end{align}$$