El transporte paralelo a lo largo de geodésicas radiales produce un campo vectorial suave?

Question

Sea $M$ sea una variedad riemanniana y $p$ sea un punto de $M$ . Sea $U$ sea una vecindad normal sobre $p$ (es decir, el mapa exponencial $\exp_p$ mapea una vecindad del origen en $T_pM$ difeomórficamente en $U$ ). Fijar un vector $v_p\in T_pM$ .

Para cada $q\in U$ , dejemos que $v_q$ sea el vector en $T_qM$ obtenido por transporte paralelo $v_p$ a lo largo de la geodésica radial que une $p$ a $q$ . Así obtenemos un mapa $X:U\to TU$ que lleva $q$ a $v_q$ . Así que $X$ es un campo vectorial en $U$ .

Pregunta. Es $X$ ¿necesariamente suave?

Lo que yo pensaba es que por definición de $X$ tenemos $\nabla_{\partial/\partial r}X=0$ en todos los puntos de $U\setminus\{p\}$ donde $\partial/\partial r$ es el campo vectorial radial (que está definido en todos los puntos de $U$ excepto $p$ ). Así que $X$ es una solución de un sistema de ecuaciones diferenciales parciales. No sé si esto garantiza que $X$ es suave en $U\setminus\{p\}$ .

Answer 1

Sí.

Tiene su truco. Deja que $(x^i)$ son las coordenadas normales centradas en $p$ por lo que las geodésicas radiales vienen dadas por $\gamma(t) = (tx^1,\dots, tx^n)$ . La ecuación diferencial satisfecha por $v = v^k \partial_k$ a lo largo de dicha geodésica es $$ \dot v^k(t) = - \Gamma_{ij}^k(tx^1,\dots,tx^n)x^i v^j(t),\tag{$ * $} $$ con condición inicial $v^k(0) = a^k$ (algunas constantes arbitrarias). (Estoy usando la convención de suma aquí).

El truco consiste en sustituir el $x^i$ por nuevas variables dependientes $w^i$ y escribirlo como un sistema de EDO para el $2n$ funciones $(v^i,\dots,v^n,w^1,\dots,w^n)$ : \begin{align*} \dot v^k(t) &= - \Gamma_{ij}^k(tw^1(t),\dots,tw^n(t))w^i(t) v^j(t),\\ \dot w^k(t) &= 0, \end{align*} con condiciones iniciales \begin{align*} v^k(0) &= a^k,\\ w^k(0) &= x^k. \end{align*} Dado que las soluciones de las EDOs suaves dependen suavemente de las condiciones iniciales así como del tiempo, las soluciones de este sistema pueden escribirse como funciones suaves $v^k(t,a,x)$ y $w^k(t,a,x)$ . De la forma de la ecuación se deduce inmediatamente que $w^k$ es constante, $w^k \equiv x^k$ y por tanto el campo vectorial que te interesa es $$ v(x) = v^k(1,a,x) \partial_k, $$ que depende suavemente de $x$ .