Hallar la derivada de una función después de hallar la inversa

Question

Este es mi problema:

$f(x)=2x+e^x$ y $g(x)$ es $f^{-1}(x)$ y $(0,1)$ está en el gráfico para $f(x)$ . ¿Qué es el $g^{'}(x)?$

Mis pasos

Primero encontramos la inversa de la función $\to x=2y+e^y$

Luego haz la diferenciación implícita para obtener: $2\frac{dy}{dx}+e^y\frac{dy}{dx}=1$

a continuación, conecte $y=1$ .

Entonces pensé que la respuesta era $\frac{1}{2+e^y}$

Pero el libro de texto me dice que la respuesta era $\frac{1}{3}$ .

Answer 1

Tienes toda la razón, pero has sustituido $y=1$ cuando debería haber sido $x=1$ o $y=0$ ya que ahora estamos viendo la función inversa.

Answer 2

De la regla de la cadena:

$(f^{-1})’(x) = \frac{1}{f’(f^{-1}(x))}$