¿Existe un enfoque algebraico para los estados topológicos límite (defecto)?

Question

Hay muchos sistemas de fermiones libres que poseen estados topológicos de borde/frontera. Algunos ejemplos son los aislantes cuánticos de Hall y los aislantes topológicos. Independientemente de que sean quirales o no, 2D o 3D, protegidos por simetría o no, sus orígenes microscópicos son similares. Hablando explícitamente, cuando se coloca un sistema de este tipo en una geometría con límites abiertos en una dimensión espacial (digamos el $x$ -), y frontera cerrada en otras dimensiones espaciales, el Hamiltoniano del modelo a granel se reduce siempre a una o varias copias del siguiente Hamiltoniano 1D a lo largo de la frontera abierta $x$ -dirección del eje (véase B. Zhou et al., argumento de quePRL 101, 246807 ) $$H_\text{1D}=-i\partial_x\sigma_1+k_\perp\sigma_2+(m-\partial_x^2+k_\perp^2)\sigma_3,$$ donde $\sigma_{1,2,3}$ son las tres matrices de Pauli, y $k_\perp$ denota el momento perpendicular a $x$ -(y podría extenderse a una matriz en dimensiones superiores). La existencia del estado topológico de borde es equivalente a la existencia de modos de borde de $H_\text{1D}$ en una cadena abierta.

Se afirmó que los modos de borde existen cuando $m<0$ . Después de discretizar y diagonalizar $H_\text{1D}$ he podido comprobar la afirmación anterior. Pero mi pregunta es que si hay un argumento simple que permite juzgar la existencia del modo de borde mirando el operador diferencial $H_\text{1D}$ sin resolver realmente la ecuación diferencial? Creo que debe haber una razón si el modo de borde es robusto.

PD: Conozco, pero no me satisface, el argumento topológico de que la banda masiva tiene una topología no trivial, que no puede alterarse sin cerrar la brecha masiva, por lo que debe haber estados de borde en el límite. ¿Es posible argumentar a partir de la propiedad de $H_\text{1D}$ sin referirse directamente a la topología de masa?

Answer 1

He aquí un enfoque algebraico para comprender el estado de los bordes. Partamos de un Hamiltoniano de Dirac genérico para los fermiones de la masa en el $d$ -espacio dimensional. $$H=\sum_{i=1:d}\mathrm{i}\partial_i\alpha^i+m(x_i)\beta,$$ donde $\alpha^i$ y $\beta$ son matrices gamma anticonmutantes ( $\{\alpha^i,\alpha^j\}=2\delta^{ij}$ , $\{\alpha^i,\beta\}=0$ , $\beta\beta=1$ ), y $m(x_i)$ es la masa topológica que varía en el espacio. El límite de un aislante topológico correspondería a una interfaz nodal donde $m(x_i)$ pasa de positivo a negativo (o viceversa). Consideremos una frontera lisa en la que $m$ cambios a lo largo del $x_1$ dirección, lo que significa que $m\propto x_1$ en las proximidades de la frontera.

Así que podemos centrarnos a lo largo del $x_1$ y estudiamos el siguiente Hamiltoniano efectivo 1D $$H_\text{1D}=\mathrm{i}\partial_1\alpha^1+x_1 \beta.$$ La existencia del modo límite en $H$ correspondería a la existencia del modo cero alrededor de $x_1=0$ en $H_\text{1D}$ .

Para proceder, definimos un operador de aniquilación $$a=\frac{1}{\sqrt{2}}(x_1+\eta\partial_1),$$ con $\eta\equiv\mathrm{i}\beta\alpha^1$ que es análogo al conocido operador de aniquilación $a=(x+\partial_x)/\sqrt{2}$ del oscilador armónico. La matriz $\eta$ tiene las siguientes propiedades: (i) $\eta^{\dagger}=\eta$ y (ii) $\eta\eta=1$ que puede derivarse del álgebra de $\alpha^1$ y $\beta$ . Entonces el operador de creación será $a^\dagger=(x_1-\eta\partial_1)/\sqrt{2}$ y se puede demostrar que $$[a,a^\dagger]=\eta.$$ Además, el hamiltoniano al cuadrado puede escribirse como $$H_\text{1D}^2=2 a^\dagger a,$$ cuyos estados propios son los mismos que $H_\text{1D}$ con los valores propios al cuadrado. Por tanto, un modo cero en $H_\text{1D}$ correspondería a un modo cero en $H_\text{1D}^2$ también. Dado que el espectro de $H_\text{1D}^2$ es definida positiva, su modo cero es también su estado fundamental.

En $\eta\eta=1$ conocemos los valores propios de $\eta$ sólo puede ser $\pm1$ . Luego, en el $\eta=+1$ recuperamos la conocida relación de conmutación de los operadores de bosones $[a,a^\dagger]=+1$ (tenga en cuenta que $a$ viajar con $\eta$ por lo que no llevará ningún estado fuera del $\eta=+1$ subespacio). Entonces resulta obvio que $H_\text{1D}^2=2a^\dagger a$ es simplemente contar el número de bosones (con un factor 2). Así que el modo cero de $H_\text{1D}^2$ existe y no es más que el estado de vacío del bosón, definido por $a|0\rangle=0$ en el $\eta=+1$ subespacio. La función de onda espacial de $|0\rangle$ será igual que el estado de reposo de un oscilador armónico, que es un paquete de ondas gaussianas $\exp(-x_1^2/2)$ localizada exponencialmente en $x_1=0$ . Sin embargo, en el $\eta=-1$ subespacio, la relación de conmutación se invierte $[a,a^\dagger]=-1$ lo que significa que se puede redefinir el operador de aniquilación como $b=a^\dagger$ (con $[b,b^\dagger]=+1$ ahora), de modo que el espectro del Hamiltoniano $H_\text{1D}^2=2bb^\dagger=2b^\dagger b+2$ está ahora limitada por 2 desde abajo y no tiene modo cero. Por lo tanto, haciendo conexión con el oscilador armónico, hemos demostrado que

1. el modo cero de $H_\text{1D}$ existe,

2. su vector de onda interno (de sabor) viene dado por los vectores propios de $\eta=+1$ ,

3. su función de onda espacial se localiza exponencialmente alrededor de $x_1=0$ .

Teniendo estos resultados, podemos obtener el Hamiltoniano efectivo de frontera proyectando el Hamiltoniano de masa $H$ al espacio de Hilbert del modo límite, que es el espacio propio de $\eta=+1$ . Por tanto, definimos el operador de proyección $\mathcal{P}_1=(1+\eta)/2\equiv(1+\mathrm{i}\beta\alpha^1)/2$ y aplicarlo al Hamiltoniano $H\to H_{\partial}=\mathcal{P}_1 H\mathcal{P}_1$ . De acuerdo con la propiedad anticonmutación de las matrices gamma, $\alpha^1$ y $\beta$ no puede sobrevivir a la proyección, y el resto de las matrices $\alpha^i$ ( $i=2:d$ ) conmutan a través de la proyección $\mathcal{P}$ y, por tanto, persisten en el Hamiltoniano de frontera $$H_\partial=\sum_{i=2:d}\mathrm{i}\partial_i\tilde{\alpha}^i,$$ que describe los modos de borde sin ranura en la frontera. $\tilde{\alpha}^i$ denota la restricción de la matriz $\alpha^i$ a la $\mathrm{i}\beta\alpha^1=+1$ subespacio (la proyección tendrá la mitad de la dimensión del espacio de Hilbert). Por tanto, mediante el operador de proyección $\mathcal{P}_i=(1+\mathrm{i}\beta\alpha^i)/2$ podemos empujar el Hamiltoniano de Dirac a la pared del dominio de masa perpendicular a cualquier $x_i$ -y hemos obtenido el hamiltoniano de frontera efectivo.

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Este enfoque puede aplicarse también para calcular el Hamiltoniano efectivo en los defectos de masa topológicos. Partiendo del hamiltoniano de masa se obtendrán múltiples términos de masa topológica $m_j$ , $$H=\sum_{i=1:d}\mathrm{i}\partial_i\alpha^i+\sum_{j}m_j\beta^j,$$ donde $m_j$ es un campo vectorial en el espacio con defectos topológicos (como monopolos, líneas de vórtice, paredes de dominio, etc.). Podemos utilizar el procedimiento de reducción de dimensión para eliminar la dimensión del problema de una en una cada vez, hasta alcanzar la dimensión deseada. En cada paso, primero deformamos el defecto topológico (escalándolo) hasta su límite anisotrópico, y tratamos el problema a lo largo de la dimensión de anisotropía como un problema 1D. Utilizando el operador de proyección descrito anteriormente, podemos proyectar el Hamiltoniano a las dimensiones restantes y, por tanto, reducir la dimensión del problema en una.

Por ejemplo, si el campo de masa escala con la coordenada como $m_1\propto x_1$ , $m_2\propto x_2$ ..., entonces el operador de proyección debería ser (hasta un factor de normalización) $\mathcal{P}\propto(1+\mathrm{i}\beta^1\alpha^1)(1+\mathrm{i}\beta^2\alpha^2)\cdots$ . Los modos de fermiones de baja energía en el defecto topológico vendrán dados por aquellos estados propios de $\mathcal{P}$ con valores propios distintos de cero.

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Este enfoque puede aplicarse además para calcular el Hamiltoniano efectivo en los defectos gauge, como los flujos gauge y los monopolos gauge. Comencemos considerando el enhebrado de un flujo $\phi$ en un aislante topológico 2D, lo que equivale a cavar un agujero circular y poner el flujo dentro del agujero.

Será conveniente cambiar a la coordenada polar y reescribir el Hamiltoniano de masa como $$H=\mathrm{i}\partial_r\alpha^r+\frac{1}{r}(\mathrm{i}\partial_\theta-A_\theta)\alpha^\theta+m\beta,$$ donde el $(\alpha^r,\alpha^\theta)$ se giran desde $(\alpha^1,\alpha^2)$ por $$\left[\begin{matrix}\alpha^r\\\alpha^\theta\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}\alpha^1\\\alpha^2\end{matrix}\right].$$ $A_\theta$ denota la conexión gauge que integra hasta el flujo $\int_0^{2\pi} A_\theta \mathrm{d}\theta=\phi$ a través del agujero. Para obtener el espectro del fermión alrededor del agujero, necesitamos empujar el Hamiltoniano de masa a la frontera circular mediante la proyección $\mathcal{P}=(1+\mathrm{i}\beta\alpha^r)/2$ (que es $\theta$ dependiente). Sólo $\alpha^\theta$ sobrevivirá a la proyección y se limitará a $\tilde{\alpha}^\theta$ en el $\mathrm{i}\beta\alpha^r=+1$ subespacio. Así que el Hamiltoniano efectivo de baja energía alrededor del flujo es (suponiendo que el radio del agujero es $r=1$ ) $$H_\phi=(\mathrm{i}\partial_\theta-A_\theta)\tilde{\alpha}^\theta=\Big(n+\frac{1}{2}-\frac{\phi}{2\pi}\Big)\tilde{\alpha}^\theta.$$ En la última igualdad, hemos introducido la función de onda $|n\rangle=e^{\mathrm{i}n\theta}|\mathrm{i}\beta\alpha^r(\theta)=+1\rangle$ etiquetado por el número cuántico de momento angular $n\in\mathbf{Z}$ . El cambio $1/2$ proviene de la conexión de espín (el fermión acumula fase Berry de $\pi$ como $\mathrm{i}\beta\alpha^r$ vientos alrededor del agujero). En $H_\phi$ podemos ver que sólo $\pi$ -flujo ( $\phi=\pi$ ) puede atrapar modos cero de fermiones (en $n=0$ ) en sistemas de fermiones de Dirac en 2D.

Un defecto monopolar de galga (de fuerza unitaria) en 3D puede considerarse como el punto final de un $2\pi$ -tubo de flujo. Supongamos que el tubo de flujo se coloca a lo largo de la $x_3$ en un aislante topológico, con el flujo $\phi(x_3)$ pasando de $2\pi$ a $0$ a través de $x_3=0$ . El Hamiltoniano efectivo a lo largo del tubo será $$H=\mathrm{i}\partial_3\tilde{\alpha}^3+m(x_3)\tilde{\alpha}^\theta,$$ donde $m(x_3)=n+\frac{1}{2}-\phi(x_3)/(2\pi)$ desempeña el papel de una masa variable. $\tilde{\alpha}^\theta$ y $\tilde{\alpha}^3$ son restricciones de $\alpha^\theta$ y $\alpha^3$ en el $\mathrm{i}\beta\alpha^r=+1$ subespacio.

Sólo el momento angular $n=0$ sector tiene un cambio de signo en la masa $m(x_3)$ que conduce al modo cero atrapado por el monopolo. Por tanto, el modo cero viene dado por la proyección $\mathcal{P}=(1+\mathrm{i}\beta\alpha^r)(1+\mathrm{i}\alpha^\theta\alpha^3)/4$ . Utilizando la correspondencia de la frontera de masa, si el monopolo atrapa un modo cero en la masa de un TI 3D, entonces su terminación superficial, que es un $2\pi$ también atrapará un modo cero en la superficie TI. Por tanto, concluimos que el $2\pi$ -puede atrapar modos cero de fermiones en sistemas 2D de fermiones de Dirac sin ranura.

Answer 2

Creo que entiendo lo que quieres decir cuando afirmas que no te satisface el "argumento de la topología de masa no trivial" a la hora de pensar en los estados de borde. El número de Chern (para la ruptura de la inversión temporal) y $\mathbb{Z}_{2}$ invariante (para sistemas simétricos en el tiempo), como sugirió DaniH, te da información sobre los estados de borde; el número de Chern y el $\mathbb{Z}_{2}$ invariante dan el número y la paridad de los estados de borde respectivamente. Pero estos cálculos dependen una vez más de directamente tratar con la topología a granel no trivial. Parece que te interesa más ver explícitamente lo que ocurre en el borde. Podría (posiblemente) haber muchas maneras de hacer esto; una muy popular que conozco es el Jackiw-Rebbi solución. Sé que quieres un argumento sencillo sin cálculos; no te preocupes, los cálculos que aparecen a continuación sólo sirven para aclarar algo al final. Consideremos un modelo de Dirac 2D con un término de masa que varía espacialmente: $$H=-iv_{F}\left(\sigma_{x}\partial_{x}+\sigma_{y}\partial_{y}\right)+m(x)\sigma_{z}$$ donde $\lim_{x\rightarrow\pm\infty}m(x)=\pm m_{0}$ y el signo de $m(x)$ a ambos lados de $x=0$ permanece igual; en ese caso debemos tener $m(0)=0$ . Si se tiene en cuenta la analogía de este modelo genérico de Dirac a sistemas topológicamente no triviales, se tendría un sistema topológicamente no trivial (trivial) para $x<0$ $(x>0)$ . Utilizando las mismas condiciones de contorno que has descrito $k_{y}$ sigue siendo un buen número cuántico. Por lo tanto, en el Hamiltoniano anterior podemos sustituir $i\partial_{y}\rightarrow k_{y}$ escribiendo explícitamente en forma matricial obtenemos $$H=\left(\begin{array}{cc} m(x) & -iv_{F}(\partial_{x}-k_{y})\\ -iv_{F}(\partial_{x}+k_{y}) & -m(x) \end{array}\right).$$ Puedes resolver las soluciones $\Psi(x)=\left(\psi_{1}(x),\psi_{2}(x)\right)^{T}\equiv\left(u(x),v(x)\right)^{T}e^{ik_{y}y}$ con energía $E(k_{y})=v_{F}k_{y}$ como $$\left(\begin{array}{cc} m(x) & -iv_{F}(\partial_{x}-k_{y})\\ -iv_{F}(\partial_{x}+k_{y}) & -m(x) \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} u(x)\\ v(x) \end{array}\right)=E\left(\begin{array}{c} u(x)\\ v(x) \end{array}\right).$$ Mirando la solución de energía cero (eligiendo la más conveniente $k_{y}=0$ ) obtenemos un conjunto de ecuaciones diferenciales acopladas de primer orden $$m(x)u(x)-iv_{F}\partial_{x}v(x)=0$$ y $$-iv_{F}\partial_{x}u(x)-m(x)v(x)=0$$ La ecuación para $v(x)$ después de la eliminación es $$\partial_{x}^{2}v(x)=\left(\frac{m(x)}{v_{F}}\right)^{2}v(x)+\frac{1}{m(x)}\partial_{x}v(x)\partial_{x}m(x).$$ La solución general sería $$v(x)=C_{1}\sinh\left(-\frac{1}{v_{F}}\int dx\; m(x)\right)+C_{2}\cosh\left(-\frac{1}{v_{F}}\int dx\; m(x)\right).$$ Aplicación de las condiciones de contorno físicamente relevantes ( $\lim_{x\rightarrow\pm\infty}v(x)=0$ ) tenemos $$v(x)\propto\exp\left(-\frac{1}{v_{F}}\int dx\; m(x)\right).$$ Para el caso simple (pero poco físico) de $m(x)=m_{0}(2\theta(x)-1)$ se puede comprobar que obtenemos una expresión simple $$v(x)\propto\exp\left(-\frac{m_{0}}{v_{F}}|x|\right).$$ que muestra el estado localizado en el borde. Se puede obtener una expresión más física para $v(x)$ (es decir, que sea suave en $x=0$ ) eligiendo un $m(x)$ que cambia menos bruscamente en $x=0$ .

Me doy cuenta de que buscas un argumento matemático sencillo para ver la existencia de estados de borde sin resolver el modelo. Aunque he realizado algunos cálculos triviales más arriba, la conclusión es que cuando un parámetro (en este caso $m(x)$ ) en el modelo cruza su valor crítico (punto crítico en el diagrama de fases) en un punto determinado del espacio real se espera ver un estado de borde en las proximidades de ese punto. Esto no es en absoluto una prueba; ¡sólo he dado un ejemplo!

Tengo un último comentario sobre " Creo que debe haber una razón si el modo de borde es robusto. " Que la robustez de los estados de borde pueda determinarse sólo a partir del modelo depende de la complejidad del modelo. Por ejemplo, la robustez de los estados de borde en los aislantes topológicos procede de la simetría tiempo-reversión. Cuando se escribe el Hamiltoniano para (digamos) el pozo cuántico HgTe/CdTe utilizando el modelo Bernevig-Hughes-Zhang (BHZ) como un $4\times4$ (que se mantienen aproximadamente en el $\Gamma$ punto) estás construyendo tu modelo de forma que respete la simetría tiempo-reversión; no es al revés, donde la robustez es una consecuencia del modelo. Cuando se trata del modelo BHZ, la robustez de los estados de borde puede argumentarse aplicando el teorema de Kramer sobre la dispersión de los estados de borde. Puedes leer más sobre esto en: ¿Qué conductancia se mide para el estado Hall cuántico de espín cuando la conductancia Hall desaparece? . Desplácese hacia abajo hasta que vea la pregunta entre comillas " También: ¿Por qué sólo hay un único estado de arista helicoidal por arista? ¿Por qué debemos tener al menos uno y por qué no podemos tener, digamos, dos estados por arista? "

Answer 3

¿Por qué quiere conocer los estados de borde sin huecos sin utilizar la topología bulk? Si me permites utilizar la topología bulk, un argumento es que puedes mover continuamente el borde y considerarlo como un parámetro adiabático que interpola dos sistemas. Para ser más precisos, puedes considerar una esfera con parte de ella en un estado topológico A y el resto en otro estado B, como el vacío. La interfaz entre A y B es un círculo. Ahora bien, si se parte de B en toda la esfera y se crea una pequeña isla de A, y luego se amplía A gradualmente, el círculo límite se desplaza por toda la esfera y vuelve a reducirse a cero. Se puede ver todo el procedimiento como una interpolación entre la fase B y la fase A, y debido a la invariante topológica de la masa debe haber un cierre de la brecha durante tal procedimiento, que es la razón de los estados de borde sin brecha.