¿Se cumple el teorema de la cobertura limitada para la integral de Riemann?

Question

Justo después de estudiar el Teorema de Convergencia Limitada BCT para la integral de Lebesgue, me hice una pregunta. ¿Es válido el BCT para Riemann? Me contesté que SÍ, ya que la función está acotada según la hipótesis del TCC. Pero algunas integrales de Lebesgue no son Riemann, aquí es donde me confundí, por favor necesito una guía de expertos en la materia.

Gracias.

Declaración de la BCT:

Sea $\{f_{n}\}$ sea una sucesión de funciones medibles definidas sobre un conjunto $E$ de medida finita. Supongamos que $\{f_{n}\}$ converge a $f$ puntualmente y también $\{f_{n}\}$ está acotada para todo $n$ . Entonces $$\int_{E}f=\lim_{n \to \infty}\int_{E}f_{n}.$$

Answer 1

Enumera los racionales en [0,1] con la secuencia $\{r_n\}_{n=1}^\infty$ . Ahora defina $f_n(x)$ por $f_n(x) = 1$ si $x = r_k$ para algunos $1\le k \le n$ y 0 en caso contrario. Para todos los $n$ tenemos $$\int_0^1 f_n(x)\,dx = 0.$$ Sin embargo, la función límite, el indicador de los racionales en $[0,1]$ no es integrable de Riemann. El teorema de convergencia acotada falla para la integral de Riemann.

Answer 2

Existe un teorema de convergencia dominada para la integral de Riemann, debido a Arzel`a. Pero se necesita la suposición adicional de que la función límite es integrable de Riemann, ya que esto no se deduce de la convergencia acotada puntualmente. Para una demostración, véase W. A. J. Luxemburg: Arzela's Dominated Convergence Theorem for the Riemann Integral. The American Mathematical Monthly, Vol. 78, No. 9 (Nov., 1971), 970-979 o el libro "An interactive introduction to mathematical analysis" de J. Lewin, Cambridge Univ. Press, 2003, 2014.

Answer 3

Pero esta afirmación es cierta:

Sea $\{f_n\}$ sea una sucesión de funciones integrables de Riemann tal que $f_n:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ y $|f_n(x)|<M$ para todos $n\geq1$ con $M>0$ . Supongamos que $f_n\to f$ donde $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ i Entonces $$\lim\limits_{n\to\infty}\int_a^bf_n(x)\,dx = \int_a^bf(x)\,dx$$

Answer 4

Escribí la prueba en Proofwiki siguiente: Lewin, Jonathan W. "Una aproximación verdaderamente elemental al teorema de convergencia acotada". The American Mathematical Monthly 93.5 (1986): 395-397

\== Lemma==

Llamamos $E\subset \mathbb{R}$ un subconjunto elemental si $E=\bigcup_{k=1}^{M} [a_{k},b_{k}]$ y definimos $m(E)$ como la longitud total de estos intervalos menos sus solapamientos.

Lemma: Supongamos $(A_{n})$ es una sucesión contractiva de conjuntos acotados en R con intersección vacía. Sea $$a_{n}:=\sup\{m(E): E\subset A_{n}\text{ is an elementary subset} \}.$$ Entonces $a_{n}\to 0$ .

\== Prueba del lema==

La secuencia $a_{n}$ es decreciente y supongamos que $a_{n}\geq \delta>0$ para obtener una contradicción.

Por la definición épsilon de supremm, para $\epsilon:=\frac{\delta}{2^{n}}$ existe un subconjunto elemental $E_{n}$ tal que

$$m(E_{n})\geq a_{n}-\frac{\delta}{2^{n}}.$$

Para $H_{n}=\bigcap_{k=1}^{n}E_{k}\subset \bigcap_{k=1}^{n}A_{k}$ demostraremos que $H_{n}\neq \varnothing$ y por lo tanto contradice que $A_{n}$ tienen una intersección vacía.

Para cada n, tome cualquier subconjunto elemental $E\subset A_{k}\setminus E_{k}$ entonces encontramos

$$m(E)+m(E_{k})=m(E\cup E_{k})\leq a_{k}\Rightarrow m(E)\leq \frac{\delta}{2^{k}}.$$

Tomemos ahora un subconjunto elemental $S\subset A_{n}\setminus H_{n}=\bigcap_{k=1}^{n}(A_{n}\setminus E_{k})$ entonces encontramos

$$E=(E\setminus E_{1})\cup … \cup (E\setminus E_{n}).$$

Por lo tanto, obtenemos el límite

$$m(E)\leq \sum_{k=1}^{n}m(E\setminus E_{k})\leq \sum_{k=1}^{n}\frac{\delta}{2^{n}}=\delta.$$

En otras palabras, cualquier subconjunto elemental $E\subset A_{n}\setminus H_{n}$ se demostró que tenía medida $m(E)\leq \delta$ .

Sin embargo, la desigualdad $a_{n}>\delta$ requiere la existencia de al menos un subconjunto elemental $U_{n}\subset A_{n}$ s.t. $m(U_{n})>\delta$ .

Dado que todos los subconjuntos elementales $E\subset A_{n}\setminus H_{n}$ satisfacer $m(E)\leq \delta$ debemos tener que $U_{n}\subset H_{n}$ para $n\geq 1$ .

Esto contradice la no vacuidad porque $\lim_{n\to \infty} m(U_{n})>\delta$ . $\square$

\== Prueba del resultado principal==

WLOG asume que $f_{n}\geq 0$ y $f_{n}\to 0$ por lo que demostraremos que dado $\epsilon>0$ existe N s.t. para todo $n\geq N$ tenemos . $$\int_{a}^{b}f_{n}(x)dx\leq \epsilon.$$

Sea $A_{n}:=\{x\in [a,b]:\text{ there exists }k\geq n \text{ such that} f_{k}(x)\geq \frac{\epsilon}{2(b-a)} \}$ .

Estos conjuntos disminuyen a medida que $n\to +\infty$ y tienen intersección vacía, por lo que el sup $a_{n}$ de arriba pasa a cero $a_{n}\to 0$ .

Así que $E_{n}\subset A_{n}$ sea un subconjunto elemental con $m(E_{n})\leq \frac{\epsilon}{2K}$ para todos $n\geq N$ y consideremos los siguientes subconjuntos

$$E:=\{x\in E_{n}:\text{ there exists }k\geq n \text{ such that} f_{k}(x)\geq \frac{\epsilon}{2(b-a)} \}\text{ and } F:=[a,b]\setminus E.$$

Por lo tanto, encontramos

$$\int_{a}^{b}f_{n}(x)dx=\int_{E}f_{n}(x)dx+\int_{F}f_{n}(x)dx\leq K m(E_{n})+\frac{\epsilon}{2(b-a)} (b-a)\leq \epsilon.$$

$\square$