Escribí la prueba en Proofwiki siguiente: Lewin, Jonathan W. "Una aproximación verdaderamente elemental al teorema de convergencia acotada". The American Mathematical Monthly 93.5 (1986): 395-397
\== Lemma==
Llamamos $E\subset \mathbb{R}$ un subconjunto elemental si $E=\bigcup_{k=1}^{M} [a_{k},b_{k}]$ y definimos $m(E)$ como la longitud total de estos intervalos menos sus solapamientos.
Lemma: Supongamos $(A_{n})$ es una sucesión contractiva de conjuntos acotados en R con intersección vacía. Sea $$a_{n}:=\sup\{m(E): E\subset A_{n}\text{ is an elementary subset} \}.$$ Entonces $a_{n}\to 0$ .
\== Prueba del lema==
La secuencia $a_{n}$ es decreciente y supongamos que $a_{n}\geq \delta>0$ para obtener una contradicción.
Por la definición épsilon de supremm, para $\epsilon:=\frac{\delta}{2^{n}}$ existe un subconjunto elemental $E_{n}$ tal que
$$ m(E_{n})\geq a_{n}-\frac{\delta}{2^{n}}.$$
Para $H_{n}=\bigcap_{k=1}^{n}E_{k}\subset \bigcap_{k=1}^{n}A_{k}$ demostraremos que $H_{n}\neq \varnothing$ y por lo tanto contradice que $A_{n}$ tienen una intersección vacía.
Para cada n, tome cualquier subconjunto elemental $E\subset A_{k}\setminus E_{k}$ entonces encontramos
$$m(E)+m(E_{k})=m(E\cup E_{k})\leq a_{k}\Rightarrow m(E)\leq \frac{\delta}{2^{k}}.$$
Tomemos ahora un subconjunto elemental $S\subset A_{n}\setminus H_{n}=\bigcap_{k=1}^{n}(A_{n}\setminus E_{k})$ entonces encontramos
$$E=(E\setminus E_{1})\cup … \cup (E\setminus E_{n}).$$
Por lo tanto, obtenemos el límite
$$m(E)\leq \sum_{k=1}^{n}m(E\setminus E_{k})\leq \sum_{k=1}^{n}\frac{\delta}{2^{n}}=\delta.$$
En otras palabras, cualquier subconjunto elemental $E\subset A_{n}\setminus H_{n}$ se demostró que tenía medida $m(E)\leq \delta$ .
Sin embargo, la desigualdad $a_{n}>\delta$ requiere la existencia de al menos un subconjunto elemental $U_{n}\subset A_{n}$ s.t. $m(U_{n})>\delta$ .
Dado que todos los subconjuntos elementales $E\subset A_{n}\setminus H_{n}$ satisfacer $m(E)\leq \delta$ debemos tener que $U_{n}\subset H_{n}$ para $n\geq 1$ .
Esto contradice la no vacuidad porque $\lim_{n\to \infty} m(U_{n})>\delta$ . $\square$
\== Prueba del resultado principal==
WLOG asume que $f_{n}\geq 0$ y $f_{n}\to 0$ por lo que demostraremos que dado $\epsilon>0$ existe N s.t. para todo $n\geq N$ tenemos . $$\int_{a}^{b}f_{n}(x)dx\leq \epsilon.$$
Sea $A_{n}:=\{x\in [a,b]:\text{ there exists }k\geq n \text{ such that} f_{k}(x)\geq \frac{\epsilon}{2(b-a)} \}$ .
Estos conjuntos disminuyen a medida que $n\to +\infty$ y tienen intersección vacía, por lo que el sup $a_{n}$ de arriba pasa a cero $a_{n}\to 0$ .
Así que $E_{n}\subset A_{n}$ sea un subconjunto elemental con $m(E_{n})\leq \frac{\epsilon}{2K}$ para todos $n\geq N$ y consideremos los siguientes subconjuntos
$$E:=\{x\in E_{n}:\text{ there exists }k\geq n \text{ such that} f_{k}(x)\geq \frac{\epsilon}{2(b-a)} \}\text{ and } F:=[a,b]\setminus E.$$
Por lo tanto, encontramos
$$\int_{a}^{b}f_{n}(x)dx=\int_{E}f_{n}(x)dx+\int_{F}f_{n}(x)dx\leq K m(E_{n})+\frac{\epsilon}{2(b-a)} (b-a)\leq \epsilon.$$
$\square$
