¿Incoherencia? Lagrangiano con su ecuación de Euler-Lagrange como condición

Question

Considere la acción

$$A_{1} = \int{L(q, \dot{q})}{dt}\tag{1}$$

y la correspondiente ecuación de Euler-Lagrange

$$\frac{\partial{L}}{\partial{q}} - \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q}}}\right)=0.\tag{2}$$

Esta ecuación es una condición general para que $L$ cumplir. Por tanto, esta condición se puede añadir a la acción original como multiplicador de Lagrange (este cambio no afecta, en principio, a la ecuación de Euler-Lagrange).

$$A_{2} = \int{\left[L(q, \dot{q}) + \lambda\left(\frac{\partial{L}}{\partial{q}} - \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q}}}\right)\right)\right]}dt\tag{3}$$

Dónde $\lambda \in R$ por lo que el último término es

$$\frac{d}{dt}\left(\lambda\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q}}}\right)\tag{4} $$

Este término está en forma de derivada total y así podemos desecharlo de la lagrangiana (genera la misma ecuación). Obtenemos la expresión

$$A_{2} = \int{\left(L(q, \dot{q}) + \lambda\frac{\partial{L}}{\partial{q}} \right)}dt\tag{5}$$

Pero este lagrangiano genera generalmente una ecuación diferente a la del lagrangiano original $L$ .

No sé en qué me he equivocado.

Answer 1

Suponemos que $\lambda$ no es función del tiempo, es decir, sólo hay una restricción promediada en el tiempo. Entonces la derivación de OP tiene los siguientes defectos:

• En primer lugar, el nuevo término restringido promediado en el tiempo de la ecuación (3) cambia sutilmente el MOE para $q$ .

  Ejemplo. Para simplificar, consideremos el modelo estático $L(q)~=~\frac{1}{2}q^2+\frac{1}{3}q^3$ . Entonces los puntos estacionarios para la acción (1) son $q\approx 0$ y $q\approx -1$ mientras que la restricción da como resultado la media temporal $\langle q\rangle \approx - \frac{1}{2}$ . El MOE para $q$ se convierte en $q^2+q\approx\lambda (2q+1)$ . Ver también este post relacionado de Phys.SE.

• En segundo lugar, la eliminación del término de frontera (4) altera la ecuación EL para $\lambda$ . En términos más generales, los términos de contorno importan si no desaparecen/no están fijados por las condiciones de contorno pertinentes de la teoría.