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¿Incoherencia? Lagrangiano con su ecuación de Euler-Lagrange como condición

Considere la acción

A1=L(q,˙q)dt

y la correspondiente ecuación de Euler-Lagrange

Lqddt(L˙q)=0.

Esta ecuación es una condición general para que L cumplir. Por tanto, esta condición se puede añadir a la acción original como multiplicador de Lagrange (este cambio no afecta, en principio, a la ecuación de Euler-Lagrange).

A2=[L(q,˙q)+λ(Lqddt(L˙q))]dt

Dónde λR por lo que el último término es

ddt(λL˙q)

Este término está en forma de derivada total y así podemos desecharlo de la lagrangiana (genera la misma ecuación). Obtenemos la expresión

A2=(L(q,˙q)+λLq)dt

Pero este lagrangiano genera generalmente una ecuación diferente a la del lagrangiano original L .

No sé en qué me he equivocado.

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Stefano Puntos 763

Suponemos que λ no es función del tiempo, es decir, sólo hay una restricción promediada en el tiempo. Entonces la derivación de OP tiene los siguientes defectos:

  • En primer lugar, el nuevo término restringido promediado en el tiempo de la ecuación (3) cambia sutilmente el MOE para q .

    Ejemplo. Para simplificar, consideremos el modelo estático L(q) = 12q2+13q3 . Entonces los puntos estacionarios para la acción (1) son q0 y q1 mientras que la restricción da como resultado la media temporal q12 . El MOE para q se convierte en q2+qλ(2q+1) . Ver también este post relacionado de Phys.SE.

  • En segundo lugar, la eliminación del término de frontera (4) altera la ecuación EL para λ . En términos más generales, los términos de contorno importan si no desaparecen/no están fijados por las condiciones de contorno pertinentes de la teoría.

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