Estoy tratando de entender la conjetura de Arnold en Geometría Simpléctica, que básicamente nos dice lo siguiente: Si $M$ es una variedad simpléctica compacta y $H_t$ sea una función Hamiltoniana 1-periódica, entonces podemos considerar la ecuación de movimiento Hamiltoniana que nos define una familia $\psi_t$ de simplectomorfismos de $M$ . A continuación consideramos los puntos fijos de $\psi_1$ y llamar a un punto fijo $x$ no degenerada, si $\det(1- d\psi_1(x)) \neq 0$ . En el caso de que todos los puntos fijos sean no degenerados, la conjetura de Arnold es: Si todo punto fijo de $\psi_1$ es no degenerado, entonces el número de puntos fijos es al menos la suma de todos los números de Betti de $M$ . \ Ahora me gustaría saber la respuesta a las siguientes preguntas: \ 1. ¿Por qué es útil este resultado para nuestra comprensión de la Geometría Simpléctica? 2. ¿Por qué alguien querría saber si tal conjetura es cierta o no? \ß 2. ¿Por qué podría ser cierto este resultado? ¿Podría darme una explicación o referencia de por qué Vladimir Arnold conjeturó este resultado? \ Toda respuesta a las preguntas anteriores sería apreciada.
Respuestas
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La conjetura de Arnold es interesante para los geómetras simplécticos porque han surgido muchas matemáticas nuevas al intentar demostrarla. Creo que lo más notable es que la homología de Floer hamiltoniana se desarrolló como medio para obtener una prueba de la conjetura. También diría (sólo por ideología) que es interesante que la topología de una variedad simpléctica limite la posible evolución de cualquier sistema dinámico definido en ella.
El motivo por el que el resultado podría ser cierto es que la conjetura de Arnold se parece mucho a las desigualdades de Morse. La homología de Floer degenera en homología de Morse en el límite propio, por lo que la conjetura de Arnold puede considerarse una generalización de las desigualdades de Morse.
Si sabe leer francés, una gran referencia es el libro de Audin y Damian, "Theorie de Morse et homologie de Floer". Alternativamente, Salamon tiene unas notas que son muy completas
He aquí un ejemplo trivial que leí en un artículo sobre encuestas escrito por Arnold a finales de los 80.
Considere $T^*S^1$ el haz cotangente de $S^1$ que podemos identificar con el producto $\newcommand{\bR}{\mathbb{R}}$ $S^1\times\bR$ . Denotaré las coordenadas obvias en este cilindro por $(\theta, t)$ .
Como cualquier haz cotangente, $T^*S^1$ lleva una estructura simpléctica, y en este caso, cualquier curva en esta colector simpléctico es un submanifold lagrangiano. Sin embargo, hay curvas y hay curvas.
Tomemos como ejemplo las curvas $C_\tau:=\lbrace t=\tau\rbrace$ , $\tau$ una constante distinta de cero, que son disjuntos de la sección cero y son deformaciones de la sección cero a través del flujo simpléctico
$$ (\theta,t)\mapsto \Phi_\tau(\theta,t)=(\theta,t+\tau). $$
Consideremos a continuación una función suave
$$ S^1\ni\theta\mapsto f(\theta). $$
Su diferencial es una sección de $T^*S^1$ y su gráfico $\Gamma_{df}=(\theta,f'(\theta))$ interseca la sección cero a lo largo de los puntos críticos de $f$ .
El lagrangiano $\Gamma_{df}$ es una deformación bastante especial de la sección cero: es una deformación hamiltoniana, los puntos de intersección de $\Gamma_{df}|$ corresponden a las órbitas periódicas de la deformación hamiltoniana.
¿Por qué es fascinante? Ciertos pares de subespacios lagrangianos se intersecan en más puntos de los que predice la topología por sí sola, lo que es en sí mismo una indicación de que la topología simpléctica es un poco más rígida que la topología suave por sí sola.
¿Cómo encaja el trivial ejemplo anterior en el panorama general?
Un submanifold lagrangiano $L$ de una variedad simpléctica tiene una vecindad tubular symplectomorphic a $T^* L$ . Así, el caso de los haces cotangentes puede considerarse como situaciones locales de los casos más generales. de submanifolds lagrangianos y sus perturbaciones hamiltonianas.
Dado un flujo hamiltoniano $\Phi_t$ en una variedad simpléctica $X$ el gráfico del tiempo $1$ -es un submanifold lagrangiano en $X\times X$ . Sus puntos fijos corresponden a la intersección del gráfico con la diagonal en $X\times X$ que es otro submanifold lagrangiano. Así pues, el problema de la intersección de submanifolds lagrangianos contiene como caso especial el problema de la existencia de soluciones periódicas de sistemas hamiltonianos.
Dejando a un lado la misteriosa rigidez de la topología simpléctica aludida anteriormente, el problema de la existencia de órbitas periódicas de sistemas hamiltonianos ha fascinado a muchos clásicos, como Poincare, por su evidente conexión con el problema de los muchos cuerpos y la pregunta filosófica: ¿se repite la historia de nuestro sistema planetario?
En cierto sentido, la geometría simpléctica (o, mejor dicho, la topología simpléctica) tal y como la conocemos ahora no existía antes de que Arnold formulara estas conjeturas. Así que muchos dirían que las conjeturas de Arnold dieron origen a la geometría simpléctica. En la época en que Arnold formuló esta conjetura sólo se conocía una afirmación no trivial en este sentido: el último teorema geométrico de Poincaré http://en.wikipedia.org/wiki/Poincar%C3%A9%E2%80%93Birkhoff_theorem
