Hallar el ordinal mínimo $β>0$ tal que $αβ=β$ (dado arbitrario $α>1$ )

Question

La pista para esta pregunta era que $s=1++^2+\cdots$ podría ser un candidato. Aunque es fácil comprobar $s=s$ no es obvio cómo comprobarlo. $s$ es el menor de todos $$ for which $ =$.

Agradecería cualquier sugerencia :)

Actualización

Problema resuelto. Gracias a Andrés E. Caicedo.

Answer 1

Gracias por la pista de Andrés E. Caicedo y la sugerencia de Ross Millikan:

Sea $s=1+\alpha+\alpha^{2}+\cdots$ . Entonces $s=1+\alpha s$ . Dado $\alpha>1$ , $\alpha s=\alpha+\alpha^{2}+\cdots$ no es inferior a $\omega$ y así $1+\alpha s=\alpha s$ .

Queda por demostrar $s$ es el ordinal mínimo que satisface la ecuación $\alpha\beta=\beta$ . Comprobamos que cualquier $0<t<s$ no es una solución. Consideremos las sumas parciales de $s$ : $s_{0} =1$ , $s_{1} =1+\alpha$ , .... Entonces $t<s$ implica que existe $n<\omega$ para lo cual $t<s_{n}$ . Supongamos que $t=\alpha t$ lo que implica $t=\alpha^{k}t$ para todos $k<\omega$ . Así $s_{n}>\alpha^{k}t\geq\alpha^{k}$ para todos $k<\omega$ a saber,

$s_{n}=1+\cdots+\alpha^{n}\geq\sup\left\{ \alpha^{k}|k<\omega\right\} =\alpha^{\omega}=\alpha^{(1+\cdots+n+1)+\omega}=\alpha^{1}\cdots\alpha^{n+1}\alpha^{\omega}$ .

Esto es imposible, ya que podemos demostrar por inducción que $1+\cdots+\alpha^{n}<\alpha^{1}\cdots\alpha^{n+1}$ . Suponiendo para todos $k<n$ , $1+\cdots+\alpha^{k-1}<\alpha^{1}\cdots\alpha^{k}$ tenemos

$1+\cdots+\alpha^{n-1}+\alpha^{n}<1+\cdots+\alpha^{n-1}+\alpha^{n+1}\leq\alpha^{1}\cdots\alpha^{n}+\alpha^{n+1}$ .

Sea $1+\delta=\alpha^{n+1}$ entonces

$\alpha^{1}\cdots\alpha^{n+1}=\alpha^{1}\cdots\alpha^{n}(1+\delta)=\alpha^{1}\cdots\alpha^{n}+\alpha^{1}\cdots\alpha^{n}\delta>\alpha^{1}\cdots\alpha^{n}+\alpha^{1+\cdots+n}\geq\alpha^{1}\cdots\alpha^{n}+\alpha^{n+1}$

como se esperaba.