Finalidad de la propiedad universal de un producto.

Question

He leído la definición de una propiedad universal de un producto de espacios topológicos. En general dice que para el mapa $f$ de $\mathbb{X}$ a $\mathbb{Y}$ y mapa $g$ de $\mathbb{X}$ a $\mathbb{Z}$ existe un único mapa $h$ de $\mathbb{X}$ a $\mathbb{Y}\times \mathbb{Z}$ tal que la proyección de la imagen de $h$ es igual a la imagen de $f$ e imagen de $g$ . ¿Para qué utilizamos esta propiedad y no es sólo $h(x)=(f(x),g(x))$ ?

Merci.

Answer 1

Parece que la forma en que se presentó lo hace parecer tautológico. Digámoslo de otra manera.

Cualquier espacio topológico $Z$ equipados con mapas $p:Z\to X$ y $q:Z\to Y$ tiene la propiedad universal de ser el producto de los espacios $X$ y $Y$ si y sólo si para cada par de mapas $f: W\to X$ y $g:W\to Y$ existe un único mapa $h: W\to Z$ tal que $p\circ h=f$ y $q\circ h = g$ .

Tiene toda la razón al afirmar que elegir $Z=X\times Y$ con $p=\pi_1$ y $q=\pi_2$ te da algo que satisface la propiedad universal y de hecho te llevará a $h(x)=(f(x),g(x))$ . Pero también podríamos elegir $Z=Y\times X$ con $p=\pi_2$ y $q=\pi_1$ para lo cual $h(x)=(g(x),f(x))$ . Así que la propiedad universal no identifica (en general) de forma única un espacio topológico. Sin embargo, como deberías demostrar, dados dos espacios topológicos equipados cada uno con un par de "proyecciones", si ambos satisfacen la propiedad universal entonces son homeomorfos, de hecho, existe exactamente un homeomorfismo que lleva las "proyecciones" de uno a las "proyecciones" del otro.

Este último hecho (que en realidad es válido, convenientemente formulado, para todas las "propiedades universales") es muy útil. Dado cualquier espacio topológico $T$ y un par de funciones $T\to X$ y $T\to Y$ si podemos demostrar que $T$ con esas funciones satisface la propiedad universal de los productos, entonces sabemos que $T\cong X\times Y$ . $T$ puede no ser siempre, obviamente, un conjunto de pares con la topología del producto.