Es $X^2Y+Y^2X^{2018}+X+Y+1 \in \mathbb F_2[X,Y]$ ¿Irreducible?

Question

Este es mi problema:

¿Es el polinomio $X^2Y+Y^2X^{2018}+X+Y+1 \in \mathbb F_2[X,Y]$ ¿Irreducible?

Sólo tengo un teorema que puedo usar para demostrar que un polinomio es reducible, pero ya he visto por mí mismo que no se cumple en este caso, así que mi suposición ahora mismo es que el polinomio anterior es irreducible, pero no sé cómo demostrarlo.

Conozco las siguientes formas de hacerlo: Eisenstein, reducción, criterio de raíz. No creo que pueda usar el criterio de la raíz aquí y estoy bastante seguro de que tampoco puedo usar Eisenstein aquí (¿o sí?). Así que he intentado usar la reducción, pero no importa qué elemento primo use, no funciona. ¿Puede alguien ayudarme?

Gracias de antemano.

Answer 1

Esto es $$(X^{2018})Y^2+(1+X)^2Y+(1+X).$$ Piense en esto como un elemento de $R[Y]$ donde $R=\Bbb F_2[X]$ , que es un PID. Ahora $X+1$ es un irreducible en este PID, por lo que podemos aplicar Eisenstein.