Ejemplos de Hilbert de la Cita

Question

Hilbert dijo una vez, "El arte de hacer de las matemáticas consiste en encontrar ese caso especial que contiene todos los gérmenes de la generalidad."

¿Qué sería de (relativamente) simple ejemplos?

Answer 1

$$x_{n-1} =\frac{\alpha+\beta x_n +\gamma x_{n-1} +\delta x_{n-2}}{A+Bx_{n}+Cx_{n-1}+Dx_{n-2}}, n= 0, 1, ...,$$

donde los parámetros $\alpha, \beta, \gamma, \delta, A, B,C, D$ son no-negativos de los números reales y las condiciones iniciales $m$ son arbitrarias no negativo números reales tales que el denominador es siempre positivo.

Estamos principalmente preocupados con el acotamiento de la naturaleza de las soluciones, la estabilidad de los puntos de equilibrio, el carácter periódico de la ecuación, y con la convergencia a un periódico de soluciones periódicas para trichotomies.

Si permitimos que uno o más de los parámetros en la ecuación a ser $0$, entonces podemos ver que la ecuación contiene

$$(2^4 -1)(2^4 -1)= 225 $$

casos especiales, cada uno con un resultado positivo de parámetros y positivo o negativo de las condiciones iniciales.

Según David Hilbert "El arte de hacer de las matemáticas consiste en encontrar ese caso especial que contiene todos los gérmenes de la generalidad", y de acuerdo a Paul Halmos "La fuente de todo lo bueno de las matemáticas es el caso especial, el ejemplo concreto"

El caso especial de esta ecuación contiene una gran cantidad de los gérmenes de la generalidad de la teoría de la diferencia de las ecuaciones de orden mayor que uno en el que, al comienzo del tercer milenio, sabemos que no sorprendentemente poco. Las matemáticas detrás de los casos especiales de esta ecuación es también hermosa, sorprendente e interesante.

Los métodos y técnicas que se desarrollan para comprender la dinámica de los diversos casos especiales de racionales ecuaciones de diferencia y la teoría de que podemos obtener también será útil en el análisis de la ecuación en cualquier modelo matemático que involucra a diferencia de la ecuación.

Answer 2

Los números enteros. Muchos de los teoremas de los anillos, por ejemplo, dar significativo no trivial resultados. Creo que de la teoría abstracta de primer ideales. Tomar matrices como una generalización, e incluso que puede ser considerado como un buen "caso especial" en sí mismo. Entonces creo que las álgebras de operadores... me refiero a lo que muchas de las estructuras en el álgebra justo generalizar lo que puede hacer con cada uno de los números.

Answer 3

Pierre de Fermat observado que (en notación moderna) $\int_a^bx^n\; dx=(b^{n+1}-a^{n+1})/(n+1)$ para el entero no negativo,$n$, pero no de la generalidad (el Teorema Fundamental del Cálculo), más adelante, de forma independiente por Newton y Leibnitz.

Answer 4

Tomar una positiva definida forma cuadrática con matriz de enteros. Por ejemplo, $$w^2+x^2+y^2+z^2$$ or $$w^2+2x^2+5y^2+5z^2$$ Resulta que si esta forma representa cada uno de los enteros positivos de 1 a 15, representa todos los enteros positivos. Este 15 teorema se demostró por primera vez por Conway y Schneeberger en 1993, luego de nuevo (mucho más simple y hermosa) por Manjul Bhargava en el año 2000.

Nota: Para el primer ejemplo de arriba, la respuesta es "sí"; para el segundo ejemplo, la respuesta es "no", sino que toma en cada entero positivo excepto 15.