Comprender la "idea" de Langlands

Question

Disculpas de antemano si esto es demasiado simple para preguntarlo aquí, pero creo que es más probable que obtenga una respuesta aquí que en stackexchange.

He estado tratando de aprender los conceptos básicos del programa Langlands en el último par de meses, y he llegado a un punto divertido en el que me piense en Entiendo la idea general de lo que está pasando, pero parece que tengo una gran cantidad de lectura que hacer antes de que pueda dar el siguiente paso y entender todo correctamente.

Actualmente me encuentro en un punto en el que estoy completamente satisfecho con la tesis de Tate y las ideas básicas de las formas y representaciones automórficas. Mi comprensión de Langlands en este momento es aproximadamente:

• La tesis de Tate nos muestra que utilizando el análisis armónico abeliano en el anillo de adele, podemos demostrar ecuaciones funcionales para funciones L unidas a caracteres de Hecke.

• Los caracteres de Hecke no son más que representaciones automórficas unidimensionales.

• Podemos (¿o creemos que podemos? No estoy del todo seguro de cuál es el estado de esta parte) utilizar el análisis armónico no abeliano para demostrar ecuaciones funcionales para las funciones L adjuntas a representaciones automórficas más generales. Sé que el objetivo del lema fundamental es que nos permite utilizar la información dada por la fórmula de la traza de Arthur-Selberg de una forma útil, ¿así que esto generaliza el papel de la suma de Poisson en la tesis de Tate?

• Un enunciado (muy) aproximado de las conjeturas locales de Langlands es que un montón de funciones L aritméticas que hemos definido surgen en realidad de representaciones automórficas.

• Así que Langlands local significaría que podemos demostrar ecuaciones funcionales para una enorme cantidad de L-funciones.

Soy consciente de que me he perdido grandes partes del programa, como la functorialidad, que ni siquiera he empezado a entender, pero me gustaría pensar que hay suficiente para tener una idea bastante razonable de lo que está pasando a un nivel básico.

Entonces mi pregunta es: ¿es esto exacto? La idea, tal y como la he resumido más arriba, la he reconstruido yo mismo a partir de las diversas cosas que he leído sobre Langlands, y parece una explicación bastante sencilla de por qué deberíamos preocuparnos por Langlands, pero no es una explicación que recuerde haber visto antes en ningún sitio, lo que me hace sospechar que puede que me haya equivocado un poco.

Answer 1

Estaría en desacuerdo con tus dos últimos puntos al igual que wccanard en su comentario: automorficidad de $L$ -forma parte de la functorialidad global de Langlands, no de las conjeturas locales (aunque ambas están relacionadas).

Tampoco estoy de acuerdo con tu tercer punto: en lugar del análisis armónico no abeliano, es la automorficidad la que se traduce en ecuaciones funcionales y viceversa. Por ejemplo, por la automorficidad de ciertas series de Eisenstein podemos ver que ciertas $L$ -procedentes de formas automórficas satisfacen una ecuación funcional, de lo que a veces podemos deducir que la función $L$ -es a su vez automórfica (y no sólo pretende serlo).

En cuanto al análisis armónico no abeliano yo diría que conduce naturalmente a la noción de formas y representaciones automórficas (vía la descomposición espectral), y además proporciona un buen marco para estudiarlas (incluso estableciendo ciertos casos de functorialidad sin usar $L$ -funciones).

Answer 2

Para complementar la respuesta de GH de MO:

Tus dos primeros puntos, sobre la tesis de Tate y los caracteres de Hecke son completamente correctos.

Su tercer punto debería precisarse como sigue. Sí, podemos demostrar la ecuación funcional para la función L adjunta a representaciones automórficas de $GL_n$ y un montón de cosas más para ellas: que tengan una continuación meromórfica, donde estén los polos si los hay, luego como dices la ecuación funcional, y luego la no evanescencia de estas funciones L en la recta $\Re s=1$ (el análogo del teorema de Hadamard-De la Vallée Poussin). A grandes rasgos sabemos que estos automorfos $L$ -casi tan bien (o tan mal) como la función Zeta de Riemann. ("Casi" porque no conocemos la hipótesis de Ramanujan, es decir, sólo sabemos que la serie que define estas funciones converge en un semiplano ligeramente más pequeño de lo que esperamos, pero en el gran esquema de las cosas eso es un detalle. "tan mal", porque al igual que para la función Zeta de Riemann, esperamos que satisfagan la hipótesis de Riemann, y no tenemos ni idea de cómo demostrarlo). Todos estos resultados se deben a Jacquet-Shalika (excepto $n=1$ donde se deben a Hecke y Tate), y se demostraron relativamente pronto en el desarrollo de la teoría de las formas automórficas.A

Para tu cuarto punto, como dice GH, sería correcto (como afirmación muy aproximada) si sustituyes "local" por "global". Y lo mismo ocurre con el quinto.