Sobre cierta distribución de probabilidad

Question

Tengo curiosidad por saber si existe un ejemplo sencillo que ilustre que existe una distribución de probabilidad $F$ tal que, si $X$ sigue $F$ , $\mathbb{E}[X^m]<\infty$ para todos $m\geq 1$ y decae más lentamente que la exponencial de cualquier orden, es decir, para cualquier $\delta>0$ , $\mathbb{E}[\exp(tX^\delta)]=\infty$ es válido para $t>0$ ?

Answer 1

Toma de densidad $f(x) = c e^{-\ln^2 x} = c x^{-\ln x}$ para $x > 1$ eligiendo la constante adecuada $c$ para que sea una medida de probabilidad (resulta que $c = 2\,{\frac {{{\rm e}^{-1/4}}}{\sqrt {\pi } \left( 1+{\rm erf} \left(1/2 \right) \right) }}$ según Maple). Dado que $x^m f(x) = c x^{m-\ln x} < c x^{-2}$ para $x$ suficientemente grande. $\mathbb E[X^m] < \infty$ . Pero para cualquier $t, \delta > 0$ , $$\exp(t x^\delta) f(x) = \exp(t x^\delta - \ln^2 x) > 1$$ para $x$ suficientemente grande, por lo que $\mathbb E[\exp(t X^{\delta})] = \infty$ .