¿En qué parte de las matemáticas ordinarias necesitamos separación y sustitución ilimitadas?

Question

[He actualizado la pregunta tras los comentarios iniciales con la esperanza de aclararla].

Hago bastantes razonamientos, normalmente sobre topología y espacios métricos, en fundamentos "no estándar", como dentro de un topos particular, en teoría de tipos o en un entorno constructivo predicativo. Éstos no suelen tener nada que corresponda a la separación o sustitución ilimitada (aunque la teoría constructiva de conjuntos CZF sí tiene colección).

Tengo una idea bastante clara de cuándo se necesitan formas restringidas de medio excluido y elección, y qué cosas nos aportan los conjuntos de potencias sobre las matemáticas predicativas, etc. Pero nunca jamás deseo tener separación y sustitución ilimitadas. ¿Por qué? ¿Se debe simplemente al tipo de matemáticas que hago, o es que estas dos no son muy necesarias en las matemáticas ordinarias?

Para concretar la pregunta: ¿cuáles son algunas definiciones y teoremas bien conocidos de las matemáticas "ordinarias" que requieren una separación o sustitución sin límites?

Los usos obvios de la sustitución y la separación ilimitada provienen de la teoría de conjuntos, por lo que deberíamos evitar enumerarlos. Lo ideal sería encontrar teoremas y definiciones de álgebra, topología y análisis.

He aquí un ejemplo no procedente de la teoría de órdenes, que se sugirió en los comentarios. Bajo la codificación habitual de los ordinales como conjuntos hereditariamente transitivos transitivos, el rango de la función $n \mapsto \omega + n$ es $\omega + \omega$ por lo que necesitamos un reemplazo para demostrar su existencia. Sin embargo, incluso PA puede hablar de este tipo de pequeños ordinales contables, por lo que estamos viendo aquí un artefacto de una codificación particular. Una codificación diferente de los ordinales contables haría que esta función fuera fácil de definir (por ejemplo, podríamos ver los ordinales contables como órdenes de subconjuntos de $\mathbb{N}$ ).

El único ejemplo de separación ilimitada que se me ocurre ahora mismo proviene de la teoría de categorías. En una categoría grande $C$ la definición de epi es ilimitada, ya que requiere una cuantificación sobre todos los objetos de $C$ . Busco algo que no esté tan directamente relacionado con una cuestión de tamaño.

Answer 1

Pondría esto como comentario pero no puedo. Incluso dentro de la teoría de conjuntos, muchas de las cosas para las que utilizamos la sustitución también se pueden hacer utilizando la unión, el conjunto de potencias y la comprensión. Sin embargo, Harvey Friedman ha demostrado que se necesita reemplazo para la Determinación de Borel.

Answer 2

Hice la misma pregunta sobre el axioma de sustitución no hace mucho en el $n$ -Categoría Café, y el responder Lo que Mike Shulman me ha dicho es que se utiliza, por ejemplo, en la construcción transfinita de álgebras libres, que en realidad se refiere a un conjunto de resultados conectados en la teoría de categorías tal como se describen aquí . El uso esencial que se hace de la sustitución es en las composiciones transfinitas; esto también ocurre en el argumento objeto pequeño .

Dicho esto, una parte de mí sigue preguntándose si no hay soluciones. En muchos casos, un álgebra inicial de un functor está situada dentro de una álgebra de carbón terminal del mismo functor, y la construcción de esta última a menudo no requiere composiciones transfinitas (es el caso, por ejemplo, de los endofunctores polinómicos). Paul Taylor en su libro Practical Foundations of Mathematics tiene una sección sobre recursividad general utilizando una teoría de álgebras de carbón bien fundadas, que es manifiestamente significativa en contextos en los que se prescinde de la sustitución, como ETCS, y me pregunto hasta qué punto podría utilizarse para construir álgebras libres sin recurrir a la sustitución.

Answer 3

Mathias analiza a fondo esta cuestión en el capítulo 9 de su obra Teoría de conjuntos de Mac Lane https://www.dpmms.cam.ac.uk/~ardm/maclane.pdf . Allí demuestra que para probar

$\;\;$ "para todos $n$ existe $n$ conjuntos infinitos pares no quinumerales"

requiere algún uso de Separación sin límites, y para demostrar

$\;\;$ "existe un conjunto infinito de conjuntos infinitos no-quinuméricos"

requiere cierto uso de la Sustitución. También analiza varios refinamientos en relación con la complejidad de las fórmulas y la estratificabilidad. Por ejemplo, Coret demostró que los casos estratificados de sustitución ya son teoremas de la teoría de conjuntos de Zermelo, por lo que "requiere alguna sustitución" implica "requiere alguna sustitución no estratificable".

Los algebristas podrían preferir estas afirmaciones relativas a secuencias de $\mathbb R$ -espacios lineales definidos mediante dualidad: $L_1=\mathbb{R}[t]$ y $L_{k+1}=L_k^*$ . En este entorno,

$\;\;$ "para todos $n$ la secuencia $L_1,\ldots, L_n$ existe"

requiere cierto uso de Separación sin límites, y

$\;\;$ "la secuencia $L_1, L_2, \ldots$ existe"

requiere cierto uso de la Sustitución.

Independientemente de que estas afirmaciones cuenten o no como matemáticas ordinarias, me parecen considerablemente más fáciles de entender que la Determinación de Borel, que parece mucho más intrincada. Por otra parte, quizá el segundo ejemplo cuente como "hay vida más allá". $V_{\omega+\omega}$ ".

Mientras tanto, algunas de las motivaciones de esta pregunta resuenan con las mías al plantear estas cuestiones:

¿Cuándo debe tratarse de conjuntos en lugar de clases propiamente dichas, o viceversa, fuera de las matemáticas fundamentales?

¿Se puede exhibir un conjunto infinito Kuratowski explícito sin invocar la sustitución?

Algunos de los comentarios sobre el primero (Conjuntos frente a Clases) aluden a diversas construcciones de la teoría de la homotopía que implican recursiones transfinitas de larga duración -e incluso cardinales de gran tamaño-, por lo que es de suponer que hay algo de Sustitución implicada.

Answer 4

Esto sería teoría de conjuntos y no "matemáticas ordinarias". Aun así, es interesante observar que sin la separación ilimitada muchas de las formulaciones habitualmente equivalentes de la finitud divergen. Por ejemplo, ya no se da el caso de que el sistema de naturales de Zermelo y el sistema de naturales de von Neumann sean isomorfos. Esto se discute en "Natural Number Arithmetic in the Theory of Finite Sets" de Mayberry-Pettigrew, http://arxiv.org/abs/0711.2922 .

Answer 5

El Proyecto Stacks, que es una introducción exhaustiva a pilas algebraicas incluyendo los antecedentes necesarios, utiliza el axioma de sustitución cuando construir categorías de regímenes cerrados en el marco de determinadas operaciones. (Creo que el propósito de esto es evitar el uso de universos).

En la construcción, trabajan explícitamente con $V_\alpha$ y demostrar por inducción transfinita que existe una $\alpha$ de modo que la categoría de esquemas contenida en $V_\alpha$ se cierra en determinadas operaciones.