(En palabras que se explican a continuación:) El movimiento browniano cuántico (QBM) es una clase de dinámica posible para un grado de libertad abierto, cuántico y continuo en el que la dinámica reducida está especificada por un Hamiltoniano cuadrático y operadores Lindblad lineales en las variables del espacio de fase $x$ y $p$ .
Consideremos la evolución temporal arbitraria de la matriz de densidad de un sistema cuando está en contacto con un entorno: \begin{align} \rho = \rho_{\mathcal{S}}(t) = \mathrm{Tr}_{\mathcal{E}} [U_t \sigma^0_{\mathcal{SE}} U_t^\dagger], \end{align} donde $\sigma^0_{\mathcal{SE}}$ es el estado global inicial (ambos $\mathcal{S}$ y $\mathcal{E}$ ) y $U_t$ es el unitario que rige la evolución global. Entonces se dice que el sistema evoluciona según un caso especial de movimiento browniano cuántico - un QBM semigrupo dinámico cuántico - cuando la evolución de su matriz de densidad obedece a Ecuación maestra de Lindblad \begin{align} \partial_t \rho = -i [\hat{H},\rho] + \sum_i \left(V_i \rho V_i^\dagger - \frac{1}{2} \{V_i^\dagger V_i, \rho\} \right), \end{align} generado por un Hamiltoniano independiente del tiempo que es un polinomio cuadrático en $x$ y $p$ \begin{align} \hat{H} = \frac{1}{2m}\hat{p}^2 + \frac{\mu}{2} \{\hat{x},\hat{p}\} + \frac{m\omega^2}{2} \hat{x}^2, \end{align} con $\mu$ , $m$ y $\omega^2$ real, y por operadores Lindblad independientes del tiempo que son polinomios lineales en el mismo \begin{align} V_i = a_i \hat{p} + b_i \hat{x}, \qquad (i=1,2) \end{align} con $a_i$ y $b_i$ complejo. La ecuación maestra puede reescribirse como \begin{align} \partial_t \rho = -i &[\hat{H},\rho] + i (\lambda/2) [\hat{p},\{\hat{x},\rho\}] - i (\lambda/2) [\hat{x},\{\hat{p},\rho\}] \\ &- D_{pp}[\hat{x},[\hat{x},\rho]] - D_{xx}[\hat{p},[\hat{p},\rho]] + D_{xp}[\hat{p},[\hat{x},\rho]] + D_{px}[\hat{x},[\hat{p},\rho]] \end{align} con coeficientes \begin{align} D_{xx} &= \frac{\vert a_1 \vert^2 + \vert a_2 \vert^2}{2} \quad , \quad & D_{pp} &= \frac{\vert b_1 \vert^2 + \vert b_2 \vert^2}{2},\\ D_{xp} &= D_{px} = -\mathrm{Re} \frac{a_1^* b_1 + a_2^* b_2}{2} \quad , \quad & \lambda &= \mathrm{Im} (a_1^* b_1 + a_2^* b_2), \end{align}
En términos más generales, decimos que un sistema experimenta movimiento browniano cuántico cuando evoluciona según la ecuación maestra anterior independientemente de si forma un semigrupo dinámico cuántico. Si obedece a la ecuación maestra con coeficientes independientes del tiempo, entonces el QBM es tiempo homogéneo (en el sentido de un proceso de Markov); en caso contrario, es tiempo-inhomogéneo . La clase de todas las dinámicas QBM instantáneas posibles está parametrizada por $\mu$ , $m$ , $\omega^2$ , $a_i$ y $b_i$ .
La dinámica resultante adquiere una forma especialmente bella en el Representación de Wigner . La ecuación maestra anterior para $\rho$ es equivalente a la siguiente ecuación dinámica para la función de Wigner $W(x,p)$ : \begin{align} \partial_t W = -\frac{p}{m}\partial_x W + m\omega^2 & x \partial_p W + (\lambda - \mu)\partial_x (x W) + (\lambda + \mu)\partial_p (p W)\\ &+D_{pp} \partial^2_x W + D_{xx} \partial^2_p + (D_{xp}+D_{px}) \partial_x \partial_p W. \end{align} Más compacto: \begin{align} \partial_t W (\alpha) &= \left[ F_{ab} \partial_a \alpha_b + D_{ab} \partial_a \partial_b \right] W(\alpha) \end{align} donde \begin{align} F_{ab} = \left( \begin{array}{cc} \lambda - \mu & -1/m \\ m \omega^2 & \lambda+\mu \end{array} \right) \quad, \quad D_{ab} = \left( \begin{array}{cc} D_{xx} & D_{xp} \\ D_{px} & D_{pp} \end{array} \(derecha) \fin son matrices con elementos reales. Por encima, los índices del espacio de fase $a,b$ toman los valores $x,p$ suponiendo la suma de Einstein, de modo que $\alpha_a$ es un vector en el espacio de fases. (La derivada direccional $\partial_a$ es la abreviatura de $\partial_{\alpha_a}$ .)
Esto es idéntico en forma a una ecuación de Klein-Kramers (más generalmente una Fokker-Planck -) para la distribución de probabilidad en el espacio de fase de un clásico partícula puntual en movimiento browniano.
Esto es notable porque tales ecuaciones se derivaron originalmente para la distribución de probabilidad verdadera, pero también se aplican a la función de Wigner. Además, esto nos proporciona una interpretación física inmediata y sencilla de cada uno de los términos de la ecuación maestra QBM
La definición moderna más completa es probablemente la siguiente
que incluye comparaciones con importantes casos especiales tratados por otros autores. He aquí algunas referencias más que me han resultado útiles para recopilar lo anterior:
- Alicki y Lendi, arXiv:quant-ph/0205188 .
- Alicki, Semigrupos dinámicos cuánticos y aplicaciones .
- Lindblad, G. (1976). " Sobre los generadores de semigrupos dinámicos cuánticos ". Commun. Math. Phys. 48 (2) 119.
- Breuer y Petruccione, Teoría de los sistemas cuánticos abiertos .
- C. Cuevas, Mapas completamente positivos, mapas positivos y la forma Lindblad .
- G. Lindblad, " Movimiento browniano de un oscilador armónico cuántico ".
- H. Dekker, " Cuantización del oscilador armónico linealmente amortiguado "
- A. Sandulescu y H. Scutaru, " Sistemas cuánticos abiertos y amortiguación de modos colectivos en colisiones inelásticas profundas ".
- A.O. Caldeira y A.J. Leggett, " Aproximación de la integral de trayectoria al movimiento browniano cuántico ".
- B. Hu, J. Paz e Y. Zhang, " Movimiento browniano cuántico en un entorno general: Ecuación maestra exacta con disipación no local y ruido coloreado ".
- J. Halliwell y T. Yu, " Derivación alternativa de la ecuación maestra de Hu-Paz-Zhang del movimiento browniano cuántico ".
- W Zurek, " Decoherencia, einselección y los orígenes cuánticos de lo clásico ".
