Densidad conjunta de dos VR perfectamente correlacionados

Question

Consideremos dos vehículos recreativos $X_1$ , $X_2$ donde la densidad de $X_1$ es $p_{X_1}(\cdot)$ mientras que $X_2 = X_1-x_0$ para algunos costant $x_0$ es decir $X_2$ es una simple traducción de $X_1$ . Quiero encontrar, si es posible, la densidad conjunta $p_{X_1, X_2}(\cdot, \cdot)$ de $X_1$ , $X_2$ .

Para ello, parto de la densidad acumulada $P_{X_1, X_2}(\cdot, \cdot)$ : $$\begin{equation} \begin{aligned}P_{X_1, X_2}(x_1, x_2) &\triangleq \mathbb{P}(X_1 \leq x_1, X_2 \leq x_2)=\mathbb{P}(X_1 \leq x_1, X_1-x_0 \leq x_2) \\ &=\mathbb{P}(X_1 \leq x_1, X_1\leq x_2-x_0)=\mathbb{P}(X_1 \leq \text{min}(x_1, x_2-x_0))\\ &=\int_{-\infty}^{\text{min}(x_1, x_2-x_0)} p_{X_1}(\xi_1)\text{ d}\xi_1 \end{aligned}\end{equation}$$
por otra parte $$\begin{equation}P_{X_1, X_2}(x_1, x_2) = \int_{-\infty}^{x_1}\int_{-\infty}^{x_2} p_{X_1, X_2} (\xi_1,\xi_2) \text{ d}\xi_1\text{ d}\xi_2\end{equation}$$ así que $$\begin{equation}p_{X_1, X_2} (x_1,x_2)=\frac{\partial^2}{\partial x_1\partial x_2} P_{X_1, X_2}(x_1, x_2)=\frac{\partial^2}{\partial x_1\partial x_2}\int_{-\infty}^{\text{min}(x_1, x_2-x_0)} p_{X_1}(\xi_1)\text{ d}\xi_1\end{equation}$$ pero me quedé aquí. Tal vez haya un enfoque más sencillo. Tengo la sospecha de que la solución es algo como $$\begin{equation}p_{X_1, X_2} (x_1,x_2)=p_{X_1}(x_1)\, \delta_{X_1-x_0}(x_2) \end{equation}$$ donde $\delta_k(\cdot)$ es el delta de Dirac concentrado en algún punto $k$

Answer 1

La densidad conjunta no existe ya que la distribución conjunta se apoya en una recta $y=x-x_0$ en $\mathbb R^{2}$ .

[Cualquier línea en $\mathbb R^{2}$ tiene medida de Lebesgue bidimensional $0$ ].