Sea $n \in \mathbb{N}$ . ¿Es cierto que por cada $k \in \{1, \dots, n!\}$ hay algunos grupos $G$ y elementos distintos por pares $g_1, \dots, g_n \in G$ tal que el conjunto $\{g_{\sigma(1)} \cdot \ \dots \ \cdot g_{\sigma(n)} \ | \ \sigma \in {\rm S}_n\}$ de todos los productos del $g_i$ obtenido permutando los factores tiene cardinalidad $k$ ?
Añadido el 21 de mar de 2013: El 19 de mar de 2013, Benjamin Young hizo una presentación de un grupo en el que el conjunto anterior tiene cardinalidad $\leq k$ (véase más abajo). Como tal, esto es trivial, ya que este es el caso en particular en cada grupo abeliano. Lo que falta lo que falta para responder a la pregunta es demostrar que las relaciones dadas no fuerzan la igualdad entre ningún otro producto.
La afirmación es cierta al menos para $n \leq 4$ . En caso de que $n = 4$ para todos $k \in \{1, \dots, 4!\}$ 4-tuplas adecuadas de elementos de grupo pueden tomarse de ${\rm S}_5$ :
k = 1: (), (1,2), (3,4), (1,2)(3,4) [ 215]
k = 2: (), (1,2)(3,4), (1,2,3,4), (2,4) [ 1845]
k = 3: (), (2,3), (2,3,4), (3,4) [ 10230]
k = 4: (), (1,2), (2,3), (3,4) [ 38870]
k = 5: (), (1,2), (2,3), (2,3,4) [ 85350]
k = 6: (), (1,2), (2,3), (2,4) [ 186220]
k = 7: (1,2), (1,2,3,4), (2,3,4), (2,4,3) [ 7920]
k = 8: (1,2), (2,3), (2,3,4), (2,4,3) [ 40560]
k = 9: (1,2), (2,3), (2,3,4), (3,4) [ 39535]
k = 10: (1,2), (1,2)(3,4), (2,3), (2,3,4), [ 96240]
k = 11: (1,2), (1,2)(3,4), (2,3), (2,4) [ 116715]
k = 12: (1,2), (1,2,3), (2,4,3), (2,4) [ 264360]
k = 13: (1,2), (1,2,3), (1,5), (2,3,4) [ 284020]
k = 14: (1,2), (1,2,3), (1,5), (2,4) [ 449940]
k = 15: (1,2,3), (1,2,3,4), (1,5), (2,3,4) [ 525420]
k = 16: (1,2), (1,2,3), (1,5), (2,4,3) [ 814070]
k = 17: (1,2,3), (1,2,3,4), (1,5), (2,3) [1034670]
k = 18: (1,2)(3,4), (1,2,3,4), (1,2,4,3), (1,5) [1208650]
k = 19: (1,2), (1,2,3), (1,2,3,4), (1,5) [1199930]
k = 20: (1,2,3,4), (1,2,4,3), (1,3,2,4), (1,5) [ 968760]
k = 21: (1,2)(3,4), (1,2,3,4), (1,5)(3,4), (2,3) [ 527160]
k = 22: (1,2)(3,4), (1,3), (1,4), (1,5) [ 242340]
k = 23: (1,2,3), (1,2,3,4), (1,5)(3,4), (2,4,3) [ 63240]
k = 24: (1,2), (1,3), (1,4), (1,5) [ 8310]Entre paréntesis (añadido el 18 de septiembre de 2013): los números de tales 4-tuplas de elementos de ${\rm S}_5$ .
Añadido el 18 de septiembre de 2013: En caso de que $n = 5$ al menos para todos $k \in \{1, \dots, 5!\} \setminus \{117, 119\}$ , adecuado 5-tuplas de elementos de grupo pueden tomarse de ${\rm S}_6$ -- ver 5tuplas.txt .
Actualización (diciembre de 2013): Esta pregunta aparecerá como Problema 18.50 in:
Cuaderno Kourovka: Problemas sin resolver de la teoría de grupos . Editores V. D. Mazurov, E. I. Khukhro. 18ª edición, Novosibirsk 2014.
