Encontrar valores máximos y mínimos

Question

Dada la siguiente secuencia de funciones,

$$f_n(x)=\frac{x}{1+nx^2}$$

Estoy tratando de encontrar los puntos en $R$ donde $f_n$ asume sus valores máximo y mínimo.

Answer 1

El resultado puede obtenerse sin derivadas.

Para $x>0$ tenemos $$1+nx^2\ge 2\sqrt{nx^2}=2\sqrt{n}x$$ así que $$f_n(x)\le\frac{x}{2\sqrt{n}x}=\frac{1}{2\sqrt{n}}$$ con igualdad posible (en caso de $1=nx^2$ por lo que en el punto $x=\frac{1}{\sqrt{n}}$ ), por lo que $\frac{1}{2\sqrt{n}}$ es el valor máximo.

De forma similar $-\frac{1}{2\sqrt{n}}$ es el valor mínimo.