Intento generalizar un problema que me encontré anteriormente.
$\mathbf{ Problem:}$ ¿Son los campos $\mathbb{Q}$ y $\mathbb{Q[\sqrt2]}$ ¿isomorfo?
$\mathbf{Generalisation:}$ Sea $F$ y $K$ sean dos campos de característica $0$ y tal que $F \subset K$ . Si existe un polinomio (de grado finito) $p(x) \in F[x]$ con coeficientes de copias de $\mathbb{Q}$ tal que $F$ no contiene ninguna raíz de $p(x)$ pero $K$ contiene todas sus raíces, entonces $F\ncong K$ .
Intento de prueba:
Cualquier campo $F$ con $\mathrm{char \ F=0 }$ contiene una copia de $\mathbb{Q}$ . Así que.., $\mathbb{Q}$ es isomorfo a un subcampo de $F$ (así $K$ ).
Ahora, supongamos que a pesar de la presencia de tal polinomio $p(x)$ , $F \cong K$ . Sea $p(x)=a_0x^n+a_{1}x^{n-1}+...+a_{n-1}x+a_n$ . Tenemos $p(\beta)=0$ para algunos $\beta \in K$ pero $\beta \notin F$ .
Sea $\phi: F \mapsto K$ sea un isomorfismo de este tipo. Para algunos $x \in F$ ,
$\beta=\phi(x) \implies a_r\beta^{n-r}= \phi(a_rx^{n-r})$ $ \ \ \ \ \ ....(*) $ . [Esto se debe a que cualquier isomorfismo de este tipo fijará $\mathbb{Q}$ es decir $\phi(m)=m$ , $\forall m\in \mathbb{Q}$ ].
Por $(*)$ corriendo $r\in \{1,2,...,n\}$ y sumarlos da,
$p(\beta)=0=\phi(p(x)) \implies p(x)=0$ . Por nuestra suposición, $x \in F$ pero $p(x)\neq 0 \ \forall \ x\in F$ . Una contradicción.
¿Es correcta la formulación de la afirmación general? ¿Es correcta mi "Prueba"? Compruébelo.
