Mínimo de la Función Gamma $\Gamma (x)$$x>0$. Cómo encontrar a $x_{\min}$?

Question

El $\Gamma (x)$ función tiene un mínimo de $x>0$ . Este resultado se utiliza algunas propiedades de la función gamma:

• $\Gamma ^{\prime \prime }(x)>0$ $\Gamma (x)>0$ todos los $x>0$
• $\Gamma (1)=\Gamma (2)=1$.

Observando el siguiente gráfico (creado en el SWP) de $y=\Gamma (x)$ este mínimo es de cerca de $x=3/2$, pero es probable que el $\min \Gamma (x)\neq \Gamma \left( 3/2\right) =\dfrac{1}{2}\Gamma \left( 1/2\right) =\dfrac{1}{2}\sqrt{\pi }$.

Creo que no es posible encontrar analíticamente el valor exacto de $x_{\min }$, incluso mediante la conversión a una adecuada problema en el intervalo de $]0,1]$ y el uso de la funcional de la ecuación de $\Gamma (x+1)=x\Gamma (x)$ y la reflexión de la fórmula

$\Gamma (p)\Gamma (p-1)=\dfrac{\pi }{\sin px}\qquad$( $0\lt p\lt 1$)

Pregunta:

a) Cual es la mejor manera de encontrar a $\min_{[1,2]}\Gamma (x)$ e no $x_{\min }$ estaba en $[1,3/2]$ o en $[3/2,2]$?

b) ¿hay algún útil de expansión de la serie de $\Gamma (x)$?

c) Que método numérico qué sugiere usted?

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Edit: Debido a la forma de $\Gamma (x)$ pensé en el unidimensional Davies-Swann-Campey método de búsqueda directa de sin restricciones de optimización, que se aproxima a una función cerca de un mínimo de sucesivos de aproximación de polinomios cuadráticos.

Answer 1

Hay, de hecho, no es de forma cerrada para la función gamma es mínima; lo que usted puede hacer en su lugar, sin embargo, es encontrar lo positivo de la raíz de la función digamma (la derivada logarítmica de la función gamma), que debe estar disponible en su entorno informático.

Answer 2

De acuerdo a MathWorld el mínimo de la función Gamma positiva $x$ es 1.46163...; en particular, supongo que esto es suficiente para deducir que es menor que $3/2$. Usted puede seguir los enlaces a encontrar algunas referencias donde esto está demostrado.