Encuentre $(a, b)$ tal que $\lim_{x \to 0} \frac{ax -1 + e^{bx}}{x^2} = 1$

Question

Encuentre $(a, b)$ tal que $\lim_{x \to 0} \frac{ax -1 + e^{bx}}{x^2} = 1$

Puedo encontrar $b = \pm \sqrt{2}$ utilizando la Regla de L'Hopitals, pero sin poder hacer nada por $a$ .

Answer 1

Debe ser que

$$(1)\;\;\;ax-1+e^{bx}\xrightarrow [x\to 0]{}-1+1=0\;\;\text{(this is true for any values of }\;a,b)$$

$$(2)\;\;a+be^{bx}\xrightarrow[x\to 0]{}a+b=0\implies a=-b$$

Como aplicando l'Hospital obtenemos el límite del cociente de las derivadas....

Por último, y como usted ha escrito, aplicar l'H por segunda vez:

$$b^2e^{bx}\xrightarrow[x\to 0]{} b^2=2\implies b=\pm\sqrt 2\;,\;\;\text{so}\ldots$$

Answer 2

Como el límite en cuestión es de forma indeterminada " $\frac{0}{0}$ ", utilizamos la regla de L'Hôpital y consideramos el límite $$\lim_{x \to 0} \frac{a +be^{bx}}{2x}.$$ Tenga en cuenta que $\lim_{x\to 0}a+be^{bx} = a+be^0 = a+b$ y $\lim_{x\to 0} 2x = 0$ . La única manera de que el límite global $1$ es si tenemos un límite en la forma indeterminada " $\frac{0}{0}$ ". Para que esto ocurra, necesitamos $a = - b$ . A continuación, utilizando de nuevo la regla de L'Hôpital, consideramos el límite $$\lim_{x\to 0}\frac{b^2e^{bx}}{2} = \frac{b^2}{2}.$$ Como queremos que este límite sea $1$ encontramos que $b = \pm\sqrt{2}$ y por lo tanto $a = \mp\sqrt{2}$ .

Eso es, $$\lim_{x\to 0}\frac{a-1+e^{bx}}{x^2} = 1$$ cuando $(a, b) = (\sqrt{2}, -\sqrt{2})$ o $(a, b) = (-\sqrt{2}, \sqrt{2})$ .

Answer 3

Otra forma de hacerlo es con la expansión de Taylor del numerador,

$$-1 + ax + (1 + bx + \frac{b^2}{2}x^2 + \mbox{higher order terms}) = (a+b)x + \frac{b^2}{2} + \mbox{ h.o.t.}).$$

Ahora dividiendo por $x^2$ y enviando $x \to 0$ es evidente que los términos de orden superior desaparecen, y $a = -b$ para asegurarnos de que el límite existe. Nos queda

$$\lim_{x\to 0} \frac{b^2}{2} \frac{x^2}{x^2} = \frac{b^2}{2}.$$

Y como tal $b^2 = 2$ .