Comprensión del mapa de Eilenberg-Zilber en cadenas singulares

Question

Tengo problemas para entender cómo la imagen de un elemento $a\otimes b\in C_p(X)\otimes C_q(Y)$ bajo el mapa de Eilenberg-Zilber sobre cadenas singulares es un elemento de $C_{p+q}(X\times Y)$ .

Estoy utilizando la expresión explícita del mapa dada en nlab que funciona en general para cualquier grupo abeliano simplicial, o el de la página 7 de este documento bajo el nombre de operador EML para cadenas normalizadas.

Por lo tanto $\Delta^n$ sea el simplex de dimensión $n$ y considerar los mapas de degeneración $s^i:\Delta^n\to\Delta^{n-1}$ . Sea $a:\Delta^p\to X$ y $b:\Delta^q\to Y$ . Podemos definir mapas de degeneración $s_i:C_{p}(X)\to C_{p+1}(X)$ por $s_i(a)=a\circ s^i$ . Ahora, hasta la señal, cuando aplico el mapa de Eilenberg-Zilber a $a\otimes b$ Recibo

$$\sum_{(\mu, \nu)}s_\nu(a)\times s_\mu(b)$$

donde $(\mu,\nu)$ son $(p,q)$ - baraja y $s_\mu$ es una composición de mapas de degeneración. Permítanme hacer un ejemplo para mostrar mi problema con esta definición.

Sea $a:[0,1]\to X$ y $b:[0,1]\to Y$ dos 1-simples. Hay dos $(1,1)$ -que son las 2 permutaciones de $S_2$ . Por lo tanto, sólo hay que tener en cuenta dos mapas de degeneración, $s_0$ y $s_1$ El mapa de Eilenberg-Zilber es el siguiente

$$\nabla(a\otimes b)=s_1(a)\times s_0(b)-s_0(a)\times s_1(b)$$

Mi problema es que una cadena en $C_{p+q}(X\times Y)$ debe ser un mapa $\Delta^{p+q}\to X\times Y$ que en este ejemplo significa $\Delta^2\to X\times Y$ . Pero por ejemplo en este caso, $s_1(a)=a\circ s^1: \Delta^2\to\Delta^1\to X$ y de forma similar $s_0(b):\Delta^2\to Y$ así que lo que obtengo es un mapa $\Delta^2\times\Delta^2\to X\times Y$ entonces, ¿cómo es exactamente este mapa un elemento de $C_2(X\times Y)$ o más generalmente de $C_{p+q}(X\times Y)$ ?

Answer 1

Sea $A$ , $X$ y $Y$ ser espacios. Entonces un mapa $A \to X \times Y$ son los mismos que los datos de un mapa $A \to X$ y un mapa $A \to Y$ es decir, está determinada únicamente por sus componentes.

Cuando vea la expresión $s_\nu(a) \times s_\nu(b)$ debe leerse como un mapa con dominio $\Delta^{p+q}$ y codominio $X \times Y$ cuya primera coordenada viene dada por el mapa $s_\nu(a)$ y la segunda coordenada viene dada por el mapa $s_\nu(b)$ .

Para ser sincero, esta fórmula esconde mucho contenido intuitivo. Para mí, el mapa Eilenberg-Zilber es: "Enviar $\Delta^p \otimes \Delta^q$ a la triangulación canónica de $\Delta^p \times \Delta^q$ ." Cada uno de los elementos de su suma corresponde a un simplex de dicha triangulación.

Esta pregunta se formuló hace 5 meses, así que imagino que ya habrá resuelto cualquier confusión que tuviera o habrá seguido adelante. Pero si todavía espera entender esto, yo fuertemente recomiendan intentar ver "por qué" la fórmula anterior describe la triangulación estándar de $\Delta^2 \times \Delta^1$ . Esto me hizo intuir el mapa Eilenberg-Zilber más que ninguna otra cosa.