Para encontrar el mínimo de $\int_0^1 (f''(x))^2dx$

Question

Estaba tratando de resolver una pregunta de un examen de ingreso. Estoy completamente atascado en el problema. No soy capaz de encontrar la idea de cómo proceder. Por favor, ayúdenme.

Dejemos que $A$ sea el conjunto de funciones dos veces continuamente diferenciables en el intervalo $[0, 1]$ y que $B = \{f \in A : f(0) = f(1) = 0, f'(0) = 2\}$ . Encuentre el valor de $$\text{min}_{f\in B} \displaystyle \int_0^1 (f''(x))^2dx.$$

Lo siento mucho por no mostrar un poco de esfuerzo por mi parte pero no encuentro la manera de proceder. Por favor, ayúdenme. Gracias de antemano.

Answer 1

Dejemos que $J = \int_0^1 L(x,f,f',f'') \ dx$ donde $L(x,f,f',f'') = (f'')^2$ .

Entonces por la ecuación de Euler-Lagrange, $J$ tiene extremos locales cuando

$$\cfrac{\partial L}{\partial f} - \cfrac{d \ }{dx}\left(\cfrac{\partial L}{\partial f'}\right) + \cfrac{d^2\ }{dx^2}\left(\cfrac{\partial L}{\partial f''}\right) = 0$$

Así, en este caso, $$ 0 = \cfrac{d^2\ }{dx^2}(2f'') = 2f''''$$

y por lo tanto $f(x) = c_0 + c_1x + c_2x^2 + c_3x^3$ .

Aplicando las condiciones que definen el conjunto $B$ :

$$f(0) = 0 \Rightarrow c_0 = 0. \quad\quad\quad f(1) = 0 \Rightarrow c_0 + c_1 + c_2 + c_3 = 0. \quad\quad\quad f'(0) = 2 \Rightarrow c_1 = 2$$

y tenemos

$$f(x) = 2x + (\alpha - 2) x^2 - \alpha x^3 \ , \quad \text{ for some value of the parameter } \alpha$$

Evaluar ahora $J$ y minimizarlo en función de $\alpha$ .

$$J(\alpha) = \int_0^1 (2\alpha - 4 - 6\alpha x)^2 \ dx = 4(\alpha^2 + 2\alpha + 4) = 4\left((\alpha+1)^2 + 3\right)$$

y $J(\alpha=-1) = 12$ es el mínimo.

Por lo tanto,

$$\min_{f \in B} \int_0^1 (f'')^2 \ dx = 12$$

con el mínimo alcanzado para $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$ .