¿Cómo encuentras la intersección de dos eventos dependientes cuando no tienes la probabilidad condicional?

Question

Si quieres encontrar la intersección de dos eventos dependientes la fórmula es: P(A y B)= P(A) x P(B|A)

Sin embargo, ¿qué pasa si no te dan P(A y B) así como P(B|A)? ¿Cómo podrías resolver eso? P(A) x P(B) no funcionará porque eso solo cuenta para eventos independientes. ¿Existe una fórmula general para eventos dependientes?

Answer 1

Si solo te dan $P(A)$ y $P(B)$ y no tienes ninguna información sobre independencia, no puedes saber $P(A\ and\ B)$.

Mostraré que con los mismos $P(A)$ y $P(B)$ podemos obtener diferentes $P(A\ and\ B)$. Por ejemplo, supongamos que estamos lanzando una moneda: $$A=cara$$ $$B=cruz$$ $$P(A)=0.5=P(B)$$ $$P(A\ and\ B)=0$$ Pero para eventos diferentes con las mismas probabilidades: $$A=cara$$ $$B=no\ cruz$$ $$P(A)=0.5=P(B)$$ $$P(A\ and\ B)=0.5$$ Sin embargo, puedes obtener límites superiores e inferiores en $P(A\ and\ B)$. $$min(P(A),P(B))\geq P(A\ and\ B)\geq P(A)+P(B)-1$$ Por favor, ten en cuenta que ambos límites solo coinciden cuando $P(A)=0=P(B)$ o $P(A)=1=P(B)$.

Además, si se proporciona información adicional, puedes calcular $P(A)$ y $P(B)$. Por ejemplo, te podrían dar $P(A\ and\ not\ B)$ o $P(not\ A\ and\ not\ B)$, o te podrían decir que $A$ y $B$ son independientes.

Answer 2

Un diagrama de Venn aborda este problema.

Dos círculos son tus dos márgenes, con áreas P(A) y P(B). Pueden superponerse en cualquier grado. No puedes deducir su superposición P(A & B) solo a partir de sus áreas individuales.

No hay una fórmula para lo que deseas.

Answer 3

Como señaló Pere, no tienes suficiente información. Permíteme darte un ejemplo. Para simplificar, imaginemos que tenemos dos eventos, que el clima está soleado (lo denotaremos como $A$) y que la gente come helados (lo denotaremos como $B$). Para hacerlo aún más simple, supongamos que calculas probabilidades empíricas usando datos de un año sobre el clima y comer helados en tu vecindario local. Observaste durante $n$ días, entre esos días hubo $n_A$ días soleados y $n_B$ días en los que la gente comió helados, esto nos da

$$ P(A) = \frac{n_A}{n}, \qquad P(B) = \frac{n_B}{n}$$

¿Nos dice algo sobre la relación entre $A$ y $B? Bueno, no lo hace. Para saber si los dos eventos están relacionados (no son independientes), necesitaríamos saber cuántos días hubo en los que la gente comió helados y estaba soleado $n_{AB}$, y calcular probabilidades conjuntas o condicionales

$$ P(A \cap B) = \frac{n_{AB}}{n}, \qquad P(B\mid A) = \frac{n_{AB}}{n_A}$$

Con suerte, si conoces alguna de esa información, puedes calcular la otra

$$ P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \qquad P(A \cap B) = P(B \mid A)\,P(A) $$

Si no sabes si esos dos eventos ocurren juntos con más frecuencia o menos frecuencia que por casualidad, ¿cómo sabrías si hay alguna relación entre ellos? Básicamente, esto es de lo que se trata la no dependencia: que las cosas tengan diferentes probabilidades de ocurrir juntas, que por casualidad.