Infinitos primos de la forma $\lfloor \sqrt {3} \cdot n \rfloor $ ?

Question

Cómo demostrar o refutar la siguiente afirmación :

Hay infinitos primos de la forma : $\lfloor \sqrt {3} \cdot n \rfloor $

Nota: Este problema lo he creado yo mismo.

Existe un teorema que afirma :

$\lfloor nx \rfloor = \begin{cases} n\lfloor x \rfloor, & \text{if } 0 \leq \{x\} < \frac{1}{n} \\ n\lfloor x \rfloor +1, & \text{if } \frac{1}{n} \leq \{x\} < \frac{2}{n} \\ n\lfloor x \rfloor +2, & \text{if } \frac{2}{n} \leq \{x\} < \frac{3}{n} \\ \vdots \\ n\lfloor x \rfloor +n-1, & \text{if } \frac{n-1}{n} \leq \{x\} < 1 \\ \end{cases}$

donde $\{x\}$ es una parte no entera de $x$ .

Por lo tanto :

$\lfloor \sqrt{3}\cdot n \rfloor = \begin{cases} n, & \text{if } 0 \leq \sqrt{3}-1 < \frac{1}{n} \\ n +1, & \text{if } \frac{1}{n} \leq \sqrt{3}-1 < \frac{2}{n} \\ n +2, & \text{if } \frac{2}{n} \leq \sqrt{3}-1 < \frac{3}{n} \\ \vdots \\ 2n-1, & \text{if } \frac{n-1}{n} \leq \sqrt{3}-1 < 1 \\ \end{cases}$

¿Cómo puedo proceder a partir de aquí?

Answer 1

Esto es demasiado largo para ser un comentario, así que lo escribiré como respuesta.

Dado $n\in\mathbb{N}$ definir el intervalo $$ I_n=\Bigl[\frac{n}{\sqrt3},\frac{n+1}{\sqrt3}\Bigr]. $$ Si $I_n$ contiene un número entero, entonces $$ n=\Bigl\lfloor\sqrt3\,\Bigl\lceil\frac{n}{\sqrt3}\Bigr\rceil\Bigr\rfloor. $$ Si pudiéramos demostrar que hay infinitos primos $p$ tal que $I_p\cap\mathbb{N}\ne\emptyset$ entonces podríamos responder afirmativamente a la pregunta. Daré un argumento probabilístico, suponiendo que las partes fraccionarias de $p/\sqrt3$ donde $p$ corre sobre todos los primos, están uniformemente distribuidos en $[0,1]$ . En ese caso, la probabilidad de que $I_p\cap\mathbb{N}\ne\emptyset$ sería la anchura del intervalo $I_p$ que es $1/\sqrt3=0.577\dots$ Así, alrededor de $57\%$ de todos los primos debe satisfacer $I_p\cap\mathbb{N}\ne\emptyset$ . Los cálculos muestran que $576874$ de la primera $10^6$ primos verifican la condición.

Editar

Según el comentario de Aryabhata, $\bigl\{\,\{p\,\sqrt3\,\bigr\}: p \text{ is prime}\}$ se distribuye uniformemente en $[0,1]$ . Entonces hay un número infinito de primos $p$ tal que $I_p\cap\mathbb{N}\ne\emptyset$ y $$ p=\Bigl\lfloor\sqrt3\,\Bigl\lceil\frac{p}{\sqrt3}\Bigr\rceil\Bigr\rfloor. $$

El mismo argumento demuestra que dado un irracional $\alpha>0$ hay infinitos primos de la forma $\lfloor\alpha\,n\rfloor$ .