Condiciones límite de la integral de trayectorias de estados coherentes fermiónicos

Question

Dado el álgebra de un oscilador fermiónico

$$ \{\hat{a},\hat{a}^\dagger \}=1\,, \qquad \hat{a}^2=(\hat{a}^\dagger)^2=0, $$

con estados coherentes $ \hat{a}|\xi\rangle=\xi|\xi\rangle $ consideremos la amplitud de transición entre estados coherentes $|\eta\rangle$ y $\langle\bar{\lambda}|$ con hamiltoniano $\hat{H}$ viene dada por

$$\langle\bar{\lambda}|e^{-i\hat{H}}|\eta\rangle = \int_{\xi(0)=\eta}^{\bar{\xi}(1)=\bar{\lambda}} D\bar{\xi}D\xi e^{iS[\bar{\xi},\xi]}$$

para

$$ S = i\int_0^1 d\tau \, \bar{\xi}\dot{\xi}(\tau)-H(\bar{\xi},\xi)-i\bar{\xi}\xi(1). $$

Ahora mi pregunta es: ¿las condiciones de contorno implican automáticamente $\xi(1)=\lambda$ y $\bar{\xi}(0)=\bar{\eta}$ ? Si no es así, ¿significa que la integral incluye todas las condiciones de contorno posibles $\xi(1)$ y $\bar{\xi}(0)$ ?

Answer 1

Notación en esta respuesta: En esta respuesta $z,z^{\ast}$ denotan dos independiente complejo Números de Grassmann-impar . Sea $\overline{z}$ denota el conjugado complejo de $z$ .

Con esta notación, la integral de la trayectoria del estado coherente Grassmann-impar/fermiónico de OP es la siguiente

$$\langle\lambda^{\ast}|e^{-i\hat{H}}|\eta\rangle ~=~ \int_{\xi(0)=\eta}^{\bar{\xi}(1)=\lambda^{\ast}} \!{\cal D}\bar{\xi}~{\cal D}\xi~ e^{iS[\bar{\xi},\xi]}.$$

En particular, el complejo conjugado $$\bar{\xi}(0)~=~\bar{\eta} \qquad\text{and}\qquad \xi(1)~=~\bar{\lambda}^{\ast}$$ de las condiciones de contorno también se cumplen en la integral de trayectoria, véase la pregunta específica de OP.

No obstante, es probable que haya que destacar una característica distintiva de las integrales de trayectoria en estado coherente: Para condiciones de contorno genéricas, ¡no existen trayectorias clásicas! Lo mismo ocurre con las integrales de trayectorias de estados coherentes de Grassmann pares/bosónicos. Está relacionado con la sobrecompletitud de los estados coherentes, cf. ce post relacionado.