Pistas para un ejercicio sobre la teoría Morse

Question

Ejercicio : Sea $M$ ser un $3$ -Una variedad bidimensional lisa con límite $\partial M$ que es una superficie de género $g$ . Además $f:M\longrightarrow [0,1]$ sea una función de Morse con las siguientes propiedades:

1. $f(\partial M)$ es un valor regular.
2. Señalemos con $\mu_i(f)$ el número de puntos críticos de $f$ de índice $i$ entonces $\mu_0(f)=1$ y $\mu_2(f)=\mu_3(f)=0$

Demostrar que $M$ está conectado y determinar $\mu_1(f)$ .

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Probé diferentes enfoques para resolverlo; aquí puedes ver mi equivocado razonamientos:

$1)$ Reconstruyamos parcialmente el complejo Morse-Smale (sobre $\mathbb Z/2\mathbb Z$ ). Tenemos un punto crítico de índice $0$ Por lo tanto $C_0(M)\cong\mathbb Z/2\mathbb Z$ y del mismo modo podemos concluir que $C_2(M)=C_3(M)=0$ . Para las variedades compactas tenemos el siguiente teorema:

Sea $M$ sea una variedad compacta de dimensión $n$ entonces la dimensión como espacio vectorial del grupo homológico de Morse-Smile $H_n(C^\bullet)$ (o $H_0(C^\bullet)$ ) es el número de componentes conectadas de $M$ .

En mi caso $H_3(C^\bullet)=0$ desde $C_3(M)=C_4(M)$ así que tal vez estoy en el camino equivocado. Probablemente no puedo usar el teorema por dos razones: $M$ tiene frontera y no es compacta.

$2)$ He intentado utilizar las desigualdades de Morse pero tengo dos obstáculos principales, $M$ ha límite y no sé el número de puntos críticos de índice $1$ (Tengo que encontrarlos).

$3)$ No sé si puedo usar el hecho de que $\chi(M)=0$ si $\text{dim}(M)$ es impar porque he visto este teorema sólo para variedades compactas sin límites.

$4)$ Si $M$ donde sin límites podría concluir que tiene el tipo de homotopía de un complejo CW con un solo $0$ -célula. En este punto debo demostrar que este tipo de $CW$ -complejos están conectados (es fácil).

No sé cómo utilizar el hecho de que la homología de $\partial M$ es conocida, porque no entiendo cómo relacionarla con la homología de $M$ .

¿Podría ayudarme, por favor?

Answer 1

En cada componente conectado, $f$ admite un mínimo y un máximo. Sea $M_1$ el componente conexo de $M$ que contiene el límite (está conectado, por suposición). Si $f(\partial M)$ es un mínimo, el máximo de $f$ restringido a este componente se alcanza en un punto crítico y $\mu_3(f)\geq 1$ . Así que $f(\partial M)$ no es un mínimo y $f$ tiene un mínimo en $M_1$ en un punto crítico. Como $\mu_0(f)=1$ , $f$ no puede tener otros componentes conectados, y $M=M_1$ está conectado. Ahora dejemos que $N$ sea el doble de $M$ pegados a lo largo de la frontera $\chi (N)=2\chi (M)- \chi(\partial M)$ . Por lo tanto $0=2\chi (M)- (2-2g)$ , $\chi(M)=-g+1= 1-\mu_1+0-0$ , $\mu_1=g$