Comprensión de un lema sobre topología de subespacios

Question

Estoy aprendiendo topología y tengo dificultades con algunos conceptos de los conjuntos abiertos en relación con los subespacios.

El problema en el que estoy trabajando dice, que Y es un subespacio de X, y A es un subconjunto de Y, entonces demuestre que la topología que hereda A como subespacio de Y es la misma topología que hereda como subespacio de X.

ahora lo que estoy tratando de probar es que A es una base para la topología del subespacio Y de X, y A es la base para la topología del subespacio en X, entonces estas dos topologías son las mismas.

Aquí está el lema que estoy luchando por utilizar , dice: "Sea Y un subespacio de X, si U es abierto en Y e Y es abierto en X, entonces U es abierto en X".

Dado que A es un subconjunto de Y, ¿implica esto que A es abierto en Y? (creo que sí). Y es abierto en X, ¿implica esto que A es abierto en X? (creo que sí)

Si A es abierto en Y, y A es abierto en X, ¿significa esto que A es abierto en $Y \bigcap U$ para $U \subset X$ ? (De esto no estoy seguro).

Además, suponiendo que mi intuición sea correcta, si A es abierto en $Y \bigcap U$ ¿significa esto para $x \in Y \bigcap U$ que $x \in A \bigcap U$ ya que A está abierto tanto en Y como en X?

esto produce mi argumento necesario diciendo que $A \bigcap U \subset Y \bigcap U$ se puede demostrar que $\mathbb{B}_{A}$ es una base para ambas topologías. mi pregunta es que sólo porque A es un subconjunto de Y y A es abierto en X, y $x \in Y \bigcap U$ No estoy seguro de si esto implica que $x \in A \bigcap U$ .

Muchas gracias de nuevo y agradeceré enormemente cualquier aclaración.

Answer 1

Respuesta sobre el problema mencionado en la segunda alinea.

Que así sea $X$ es un conjunto dotado de una topología $\tau$ y deje $A\subseteq Y\subseteq X$ .

Entonces $Y$ hereda una subtopología $\tau_{Y}=\left\{ Y\cap U\mid U\in\tau\right\} $ e igualmente $A$ hereda una subtopología $\tau_{A}=\left\{ A\cap U\mid U\in\tau\right\} $ .

Mirando a $A$ como subespacio de $Y$ también hereda una subtopología $\tau'_{A}=\left\{ A\cap V\mid V\in\tau_{Y}\right\} $ y que se muestre es que $\tau_{A}$ y $\tau'_{A}$ coinciden.

Si $O\in\tau'_{A}$ entonces $O=A\cap V$ para algunos $V\in\tau_{Y}$ . En $V\in\tau_{Y}$ it se deduce que $V=Y\cap U$ para algunos $U\in\tau$ . Entonces $O=A\cap Y\cap U=A\cap U$ demostrando que $O\in\tau{}_{A}$ .

Demostrado está ahora que $\tau'_{A}\subseteq\tau_{A}$ .

A la inversa $O\in\tau_{A}$ . Entonces $O=A\cap U$ para algunos $U\in\tau$ . Obsérvese que también podemos escribir $O=A\cap Y\cap U=A\cap W$ donde $W:=Y\cap U\in\tau_{Y}$ . Esto demuestra que $O\in\tau'_{A}$ .

Demostrado está ahora que $\tau{}_{A}\subseteq\tau'_{A}$ y estás listo.

Answer 2

Una base es una colección de conjuntos, así que para un mero subconjunto, tienes que demostrar que el subconjunto es una colección de conjuntos, no un único conjunto antes de demostrar que un subconjunto puede ser una base.

La segunda parte de mi confusión, suponiendo que A sea abierto en Y y X, es que si se demostrara que A fuera abierto en $Y \bigcap U$ donde U $\subset X $ , hay que demostrar que A está contenido en U. Ambas cosas no las tengo ni puedo suponerlas.

muchas gracias.