Hay un algebraicas no-racional de la extensión de los números enteros, cuyo conjunto de elementos principales que contiene el primer enteros?

Question

Deje que el anillo de $\mathbb{Z}[\alpha]$ $\alpha$ un algebraica de números.
Deje $P(\mathbb{Z}[\alpha])$ ser el conjunto de todos los elementos principales de $\mathbb{Z}[\alpha]$.

Pregunta: ¿hay $\alpha$ algebraicas y no racionales tales que $P(\mathbb{Z}) \subset P(\mathbb{Z}[\alpha])$?

Answer 1

Deje $f \in \mathbb Z[X]$ el (tal vez no monic, pero definitivamente primitivo) polinomio mínimo de a $\alpha$. Podemos asumir que el coeficiente inicial a ser positivo.

Considerar la homomorphism $\mathbb Z[X] \to \mathbb Z[\alpha], X \mapsto \alpha$. El kernel no es maximal primer ideal que contiene a $f$, por lo tanto es igual a $(f)$, ya que el $(f)$ es una prime-ideal (f es irreducible, ya que es primitivo e irreductible $\mathbb Q$) y cualquier otro primer ideal correctamente contengan $(f)$ es máxima. Podemos deducir $\mathbb Z[\alpha] \cong \mathbb Z[X]/(f)$.

Pick $x \in \mathbb Z$ adecuado grandes, de tal manera que $f(x) > 1$. En particular, existe un primer $p$$p|f(x)$. Calculamos

$$\mathbb Z[\alpha]/(p) \cong \mathbb Z[X]/(f,p) \cong \mathbb F_p[X]/(f)$$

El último integrante de dominio, ya que $f(x) = 0$$\mathbb F_p$, en particular, $f$ no es irreducible.