Consideremos el espacio vectorial $c$ de secuencias $x=\{x_n\}$ que converge en $\mathbb{F}$ . Demuestre que existe una función lineal $L \in (\ell^\infty)$ para que $L(x)=\lim_n{x_n}$ para cada $x=\{x_n\} \in c$ .
Mi intento:
Sea $L$ sea la función lineal sobre c. Dado que $p(x) = \limsup_n{x_n}$ y $p$ es sublineal, sea $\ell$ sea la función lineal sobre $\{0\}$ dado por el funcional cero. Entonces $p(0) = 0 = \limsup_n{0_n}$ y por Hahn-Banach $\ell$ puede ampliarse a una función lineal $L$ en $(\ell^\infty)'$ tal que $L(x) \leq p(x) = \limsup_n{x_n}$ para todos $x \in \ell^\infty $ .
Aplicando esto a $-x$ obtenemos $-L(x)=L(-x) \leq \limsup_n{(-x_n)} = -\liminf_n{x_n}$ y, por lo tanto, $\liminf_n{x_n}\leq L(x)\leq \limsup_n{x_n}$ .
Desde $\limsup_n{x_n}\leq \sup_nx_n \leq \sup_n|x_n|$ y también $\liminf_n{x_n} \geq \inf_n{x_n} \geq -\sup_n|x_n|$ tenemos $|L(x)| \leq ||x||_\infty$ y $L$ está acotada con norma $\leq 1$ para cada $x=\{x_n\} \in c$ .
¿Es correcta mi conclusión?
