¿Diferencia entre isogenia y homomorfismo?

Question

Llevo intentando aprender sobre curvas elípticas desde el instituto y me he enseñado algo de álgebra abstracta para entenderlo mejor. Sólo he utilizado recursos en línea y Álgebra Abstracta por Dummit y Foote, así que me disculpo si estoy pasando por alto algo muy obvio.

Leí la prueba esbozada aquí que $[\mathbb{Q}(j(I):\mathbb{Q}]<h_{k}$ para un ideal $I\subseteq O_{k}$ del anillo de enteros de un campo cuadrático imaginario $K$ . Sigo la prueba pero tengo problemas con el siguiente concepto que parece bastante fundamental. Cuando se habla de $End(E)$ de una curva elíptica, siempre había supuesto que se refería a cualquier homomorfismo de grupo abeliano de $E$ a $E$ . Veo que la estructura de $End(E_{\Lambda})$ suele determinarse observando el anillo de endomorfismos de $\mathbb{C}/\Lambda$ lo que también entendí como cualquier homomorfismo de grupo abeliano entre $\mathbb{C}/\Lambda$ y a sí misma. El sitio al que hice referencia mencionaba que "las isogenias (de curvas elípticas) y los mapas analíticos que fijan 0 (de C módulo a una red) son la misma cosa". O estoy pasando por alto algo obvio o no entiendo bien la diferencia entre una isogonía y un homomorfismo.

Lo he buscado, y parece que la única condición extra que aporta una isogenia es que sea suryectiva. Lo que no entiendo es qué hace esta condición: supongo que establece la conexión entre $End(E_{\Lambda})$ y $End(\mathbb{C}/{\Lambda})$ "más agradable", pero ¿por qué iba a ser así? Si estoy en lo cierto, me parece bastante ad hoc, aunque sé que debe haber alguna razón natural para este requisito. ¿Cómo nos lleva esto a la condición de que el mapa correspondiente entre $\mathbb{C}/\Lambda$ para ambas curvas elípticas es analítica?

Gracias por su ayuda.

Answer 1

En el $y^2=x^3+ax+b$ lado algebraico una isogenia es cualquier homomorfismo dado por un mapa racional . En particular $(x,y)\mapsto (\overline{x}, \overline{y})$ (conjugaison compleja) en $y^2=x^3+1$ no es una isogenia. En el lado del toro complejo, una isogenia es cualquier homomorfismo dado por un mapa analítico complejo. En particular $z\mapsto \overline{z}$ no es una isogenia en $\Bbb{C/(Z+iZ})$ . El teorema principal es que la función elíptica de Weierstrass da una correspondencia entre las dos, siendo el mapa $z\mapsto (\wp_L(z),\wp_L'(z))$ .

Obsérvese que el Frobenius $(x,y)\mapsto (x^5,y^5)$ es una isogenia/endomorfismo en $y^2=x^3+1$ definido sobre $\Bbb{F}_5$ . Esto es lo que hace que los anillos de endomorfismo sean más complicados en característica $p$ .