¿Se puede comprobar la continuidad de una función restringiéndola a curvas suaves?

Question

Ejemplo bien conocido: Considere la función $$f(x,y)=\left\{\begin{array}{c} \frac{x^2y}{x^4+y^2} & \text{if }(x,y)\neq(0,0)\\ 0 & \text{if }(x,y)=(0,0) \end{array}\right.$$ Cuando se restringe a cualquier línea recta que pasa por el origen, esta función es continua. Sin embargo, si nos acercamos al origen a lo largo de la parábola $y=x^2$ obtenemos un límite de $\frac 12$ Así que $f$ es en realidad discontinua. La cuestión es si las curvas suaves siempre pueden detectar la discontinuidad de este modo.

¿Existe una función $f:\mathbb R^2\to \mathbb R$ que es discontinua en un punto $x$ pero es continua en $x$ cuando se restringe a cualquier curva suave?

La discontinuidad está atestiguada por una secuencia $\{x_i\}$ convergiendo hacia $x$ para que $\{f(x_i)\}$ no converge a $f(x)$ . Ya que podríamos tomar $f$ sea la función característica en $\{x_i\}$ la pregunta anterior es equivalente a la siguiente.

Dada una secuencia convergente $\{x_i\}$ en $\mathbb R^2$ ¿debe existir una curva suave que pase por infinitas de las $x_i$ ?

Answer 1

Sí, puedes hacerlo. Suponga que tiene una secuencia de puntos $c_n$ que converge muy rápidamente a cero, de modo que $n^k c_n$ está acotada para todo $k$ . Sea $h$ sea una función suave igual a $0$ para $x\le -1$ y $1$ para $x\geq 0$ . Sea $t_n=\frac{1}{(n+1)^2}+2\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}$ y $$g(x)=\sum_{n\geq 0}h(1+n^2(x-t_n))h(1-n^2(x-t_n))c_n$$ entonces $g(t_n)=c_n$ y g es suave porque la convergencia rápida de la $c_n$ implica que las derivadas de todos los órdenes de los términos del sumatorio están uniformemente acotadas. Esta demostración funciona con mayor generalidad y el resultado se denomina "lema general de la curva". Véase 12.2 en Kriegl-Michor, "The convenient setting of global analysis".

Answer 2

Normalmente, por una "curva suave a través de $0\in\mathbb R^2$ ", uno significa un $C^k$ cartografía $f:[-a,a]\to\mathbb R^2$ donde $k\ge 1$ es el grado de suavidad deseado, $a>0$ , $f(0)=0$ y $f'(x)\ne 0$ para todos $x\in[-a,a]$ (sin la última condición, se pueden obtener imágenes bastante feas incluso de $C^\infty$ mapeos). Equivalentemente, una curva suave es una gráfica de un $C^k$ -cerca del origen después de cierta rotación de las coordenadas. Ahora, la respuesta depende de $k$ . Si $k=1$ entonces hay una subsecuencia $x_n$ acercándose a $0$ de alguna dirección limitante. Eligiendo esta dirección como semieje positivo, vemos que podemos enrarecer un poco la secuencia y poner todo en un $C^1$ gráfico con $0$ derivada en el origen. Por otra parte, para solicitar cualquier módulo de continuidad particular para $f'$ ya es imposible porque eso requeriría alguna estimación del tipo $|\mbox{arg}(x)|\le \omega(|x|)$ con alguna función fija $\omega$ tendente a $0$ en $0$ donde $\mbox{arg}$ se mide desde la dirección límite. Sin embargo, podemos construir una secuencia de puntos cuyos valores absolutos tiendan a $0$ muy rápido mientras que sus argumentos tienden a $0$ muy lentamente.

Answer 3

Por ejemplo ${\Bbb C}$ como modelo de ${\Bbb R}^2$ . Dada una secuencia $(z_n)$ de números complejos distintos de cero que converge a 0, la compacidad de $S^1$ implica la existencia de una subsecuencia tal que Arg $(z_n)$ converge. Entonces, pasando si es necesario a una subsecuencia aún más delgada $(w_n)$ también se puede conseguir que la convergencia de los argumentos sea monótona y unilateral (en algún sentido apropiado). Uniendo los puntos, aunque sólo sea con segmentos de línea, se obtiene una curva suave en 0, y un poco más de cuidado hará que sea suave en todas partes. (Supongo que "suave" significa $C^1$ ...no creo $C^n$ es mucho más difícil, pero no he pensado en $C^\infty$ .)