¿Cómo puedo calcular el grupo fundamental de $S^3-S^1$ ? Creo que podría ser similar al grupo fundamental de $S^2-S^0$ que es $ \Bbb Z$ pero tengo problemas para mostrarlo. ¿Es esta la dirección correcta (mostrando que es $\Bbb Z$ ) o estoy muy equivocado?
Respuestas
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Se puede escribir $S^3$ como el unión de dos toros sólidos . Utilizando esto, es fácil ver que el complemento de una norma $S^1$ en $S^3$ deformación se retrae sobre un toroide sólido.
Dado que la deformación de un toroide sólido se retrae sobre su centro $S^1$ el grupo fundamental de su espacio es $\mathbb Z$ .
Alternativamente, si se considera la proyección estereográfica $S^3-\{P\}\to\mathbb R^3$ de la esfera desde un punto $P$ en su $S^1$ entonces la imagen del $S^1$ es una línea en $\mathbb R^3$ . Usted esta conseguir un homeo de $S^3-S^1$ a $\mathbb R^3-\text{line}$ . (Para que esto funcione, el $S^1$ tiene que ser un círculo maximal de $S^3$ )
Matt Dawdy
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He aquí una bonita visualización. Puedes pensar en $S^3$ como la compactificación de un punto de $\mathbb{R}^3$ de modo que $\mathbb{R}^3$ junto con un "punto en el infinito". Así que para empezar puedes visualizar un círculo en $\mathbb{R}^3$ teniendo en cuenta que existe un punto en el infinito, y queriendo averiguar el grupo fundamental de su complemento.
Pero ahora puedes enviar un punto del círculo al infinito, ¡ya que ibas a eliminar el círculo de todos modos! Esto endereza el círculo hasta convertirlo en una recta (si te sirve de ayuda, visualiza la construcción análoga para $S^2$ ), por lo que su espacio es ahora el complemento de una línea $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}^3$ . Esto es claramente $\mathbb{R}$ veces $\mathbb{R}^2 \setminus \{ 0 \}$ por lo que es homotópicamente equivalente a un círculo $S^1$ .
