Sea $k$ sea un campo algebraicamente cerrado (en mi aplicación, es de característica cero, pero esto probablemente no importe tanto), y sea $P: k \to k$ , $Q: k \to k$ sean polinomios de una variable. Entonces $P(x)-Q(y)$ es un polinomio de dos variables $x,y$ . Generalmente, se espera que este polinomio sea irreducible, pero hay algunos casos excepcionales en los que se convierte en reducible. Por ejemplo, si $P=Q$ y $P,Q$ tienen un grado superior a $1$ entonces $P(x)-Q(y)$ contiene $x-y$ como factor no trivial. En términos más generales, si $P = R \circ \tilde P$ y $Q = R \circ \tilde Q$ para algunos polinomios $\tilde P, \tilde Q, R$ con $R$ con un grado superior a $1$ entonces $P(x)-Q(y)$ contiene $\tilde P(x)-\tilde Q(y)$ como factor no trivial.
Mi pregunta (algo vaga) es si hay alguna forma de clasificar todos los pares de polinomios $P, Q$ en el que $P(x)-Q(y)$ se convierte en reducible. Por supuesto, esto tiene una respuesta tautológica - son aquellos $P, Q$ para la que se puede factorizar $P(x)-Q(y) = R(x,y) S(x,y)$ para algunos polinomios $R,S$ - pero estoy buscando un criterio que sea de alguna manera más sencillo de verificar que el problema general de determinar si un polinomio arbitrario de dos variables es irreducible. Lo ideal sería que tuviera el sabor de "los únicos obstáculos a la irreducibilidad son los obvios". Se podría conjeturar ingenuamente que los ejemplos anteriores son, de hecho, los únicos ejemplos reducibles; de hecho, no he podido presentar ningún otro ejemplo, pero es probable que se trate de un fallo de mi propia imaginación.
Tengo esta vaga imagen de ver la curva $\{ (x,y): P(x)=Q(y)\}$ como producto relativo de las curvas $\{ (x,z): z = P(x) \}$ y $\{ (y,z): z = Q(y) \}$ sobre el $z$ -de modo que la irreductibilidad del primero debería relacionarse de algún modo con la estructura de los dos últimos factores (y, en particular, en la localización y naturaleza de los puntos singulares de los mapas de proyección al eje $z$ -eje), pero no sé cómo precisarlo. (Quizá debería haber prestado más atención a las superficies de Riemann cuando era estudiante...)
En realidad, lo que me interesa en última instancia es la versión multidimensional de esta cuestión, es decir, dar un criterio para saber cuándo el conjunto algebraico $\{ (x,y) \in k^d \times k^d: P(x)=Q(y) \}$ es una variedad irreducible, donde $P, Q: k^d \to k^m$ son mapas polinómicos, pero dado que incluso el $d=m=1$ parece no ser trivial, pensé que debía centrarme en eso primero.
