Hallar el límite de la sucesión $\left\{ {{a_n}} \right\}$

Question

Sea $f:\left[ {0,1} \right] \to \left( {0,\infty } \right)$ sea una función continua y $${a_n} = \left( {\int_0^1 {{{\left( {f(x)} \right)}^n}} \,dx} \right)^\frac{1}{n},\quad n \in \mathbb{N}.$$ Encuentre $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n}$ .

Answer 1

Pista:

Considere $M = \sup f$ . Para cualquier $\epsilon > 0$ existe un intervalo $(\delta_1,\delta_2)$ donde $M \geqslant f(x) > M - \epsilon$

Answer 2

Desde $f$ es continua, alcanza su máximo. Digamos $$\max_{x \in [0,1]} f(x) = A.$$ Demostramos que el límite es $A$ . Efectivamente, $$\lim_{n\to \infty} \left( \int^1_0 f(x)^n dx \right)^{1/n} \le \lim_{n\to \infty} \left( \int^1_0 A^n dx \right)^{1/n} = A \lim_{n\to \infty} \left(\int^1_0 1 dx \right)^{1/n} = A.$$ Por otra parte (puesto que el máximo se alcanza en algún $x_0 \in [0,1]$ ), por continuidad, para $\epsilon > 0$ podemos encontrar $\delta > 0$ tal que $f(x) \ge A-\epsilon$ para $x \in (x_0 -\delta, x_0 + \delta)$ . Entonces por positividad de $f$ , $$\left( \int^1_0 f(x)^n dx \right)^{1/n} \ge \left( \int^{x_0 +\delta}_{x_0 - \delta} f(x)^n dx \right)^{1/n} \ge \left( \int^{x_0 +\delta}_{x_0 - \delta} (A-\epsilon)^n dx \right)^{1/n} = (A-\epsilon)(2\delta)^{1/n}.$$ Tomando el límite como $n \to \infty$ tenemos $(2\delta)^{1/n} \to 1$ Así que $$\lim_{n\to \infty} \left( \int^1_0 f(x)^n dx \right)^{1/n} \ge A-\epsilon.$$ Desde $\epsilon$ era arbitrario, podemos enviarlo a cero dando $$\lim_{n\to \infty} \left( \int^1_0 f(x)^n dx \right)^{1/n} \ge A.$$ Por lo tanto, el límite es igual a $A$ .

Answer 3

Observe que $a_n$ es simplemente $\|f\|_n$ . Si $n\rightarrow \infty$ entonces $\|f\|_n\rightarrow \|f\|_\infty=\sup_{x\in[0,1]}f(x).$