Subfactores conmutativos y generadores de $ B(H)$

Question

Tengo una pregunta sobre los subfactores de $B(H)$ (el álgebra de von Neumann de operadores acotados en un espacio de Hilbert complejo).

Digamos que tengo un subfactor $M$ de $B(H)$ . ¿Es cierto que otro subfactor $N \subset B(H)$ que conmuta con $M$ y es tal que el álgebra vN $(M\cup N)''$ generado por $M$ y $N$ es todo $B(H)$ es automáticamente la conmutante de $M$ ?

Creo que se deduce automáticamente que $M \cap N=\mathbb C \,1\!\!1$ porque la intersección está contenida en el centro de, digamos, $M$ .

EDIT: Otra forma de plantear esta pregunta sería la siguiente. Consideremos pares de subfactores conmutativos $M,N \subset B(H)$ . Un par es trivial si $M=N'$ y se genera si $(M\cup N)''=B(H)$ . La pregunta es ahora: ¿Existe un par generador no trivial de subfactores $M,N \subset B(H)$ ?

Answer 1

Sea $N \subset M'$ ser un irreducible inclusión de subfactores, lo que significa que $N \neq M'$ pero la conmutante relativa es trivial, es decir, $N' \cap M' = \mathbb{C}\cdot I$ . Hay montones de ejemplos de este tipo (busca en Google "ejemplo de subfactor irreducible"). Entonces la conmutante del álgebra de von Neumann generada por $M \cup N$ está contenido tanto en $M'$ (ya que contiene $M$ ) y $N'$ (ya que contiene $N$ ), por lo que debe ser trivial. Por lo tanto esta álgebra de von Neumann debe ser $B(H)$ .