Identidades Weitzenböck

Question

Hice esta pregunta en Matemáticas Stack Exchange pero aún no he recibido ninguna respuesta (no estoy seguro de cuánto tiempo debo esperar antes de que sea aceptable preguntar aquí, suponiendo que exista tal periodo de tiempo).

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La página de Wikipedia sobre Identidades Weitzenböck se basa explícitamente en ejemplos. Estoy buscando una referencia que adopte un enfoque más riguroso (así como una discusión de la técnica de Bochner). En particular, estoy interesado en referencias que se centren en estas identidades en geometría compleja.

Ya he consultado Griffiths & Harris, que se menciona en el artículo, pero sólo contiene un ejemplo. Berger Una visión panorámica de la geometría de Riemann no tiene mucho más.

Mi interés por las identidades de Weitzenböck ha estado motivado por una cuestión derivada del siguiente teorema:

Sea $X$ sea una variedad de Kähler y $E$ un haz vectorial holomorfo hermitiano con conexión de Chern $\nabla$ . Entonces para los Laplacianos $\Delta_{\bar{\partial}} = \bar{\partial}\bar{\partial}^* + \bar{\partial}^*\bar{\partial}$ , $\Delta_{\partial} = \partial\partial^* + \partial^*\partial$ tenemos $\Delta_{\bar{\partial}} = \Delta_{\partial} + [iF_{\nabla}, \Lambda]$ .

Es $\Delta_{\bar{\partial}} = \Delta_{\partial} + [iF_{\nabla}, \Lambda]$ ¿un ejemplo de identidad Weitzenböck?

Answer 1

He aquí, a grandes rasgos, la filosofía de la técnica Weitzenbock. (La mayor parte de lo que sigue está tomado del libro de Berline-Getzler-Vergne).

Supongamos que $E_0,E_1\to M$ son haces vectoriales sobre una variedad orientada de Riemann $M$ equipados con métricas hermitianas. Denotemos por $C^\infty(E_i)$ el espacio de secciones lisas de $E_i$ .

Un operador diferencial simétrico de 2º orden $L: C^\infty(E_0)\to C^\infty(E_0)$ se denomina Laplaciano generalizado en $E_0$ si su símbolo principal $\sigma_L$ coincide con el símbolo principal de un Laplaciano. Concretamente esto significa lo siguiente.

Para una función suave $f\in C^\infty(M)$ denotado por $M_f$ el operador lineal $C^\infty(E_0)\to C^\infty( E_0)$ definido por la multiplicación con $f$ . Entonces $L$ es un Laplaciano generalizado si para cualquier $f_0,f_1\in C^\infty(M)$ y cualquier $u\in C^\infty(E_0)$ tenemos

$$ [\; [\; L,M_{f_0}\; ], M_{f_1}\; ]u = -2g( df_0,df_1)\cdot u $$

donde $[-,-]$ denota el conmutador de dos operadores. Equivalentemente, esto significa

$$[[L,M_{f_0}],M_{f_1}]=-2M_{g(df_0,df_1)}. $$

Se puede demostrar que si $L$ es un laplaciano generalizado en $E_0$ entonces existe una conexión $\nabla$ en $E_0$ compatible con la métrica en $E_0$ y un endomorfismo simétrico $W$ de $E_0$ tal que

$$ L =\nabla^*\nabla +W. $$

Las fórmulas clásicas de Weitzenbock dan descripciones explícitas del resto de Weitzenbock $W$ y la conexión $\nabla$ .

Normalmente, los laplacianos generalizados se obtienen mediante Tipo Dirac que son operadores diferenciales de primer orden $D: C^\infty(E_0)\to C^\infty(E_1)$ de forma que ambos operadores $D^\ast D$ y $D D^\ast$ son Laplacianos generalizados en $E_0$ y respectivamente $E_1$ . Podemos reescribirlo de forma compacta utilizando el operador

$$\mathscr{D}: C^\infty(E_0)\oplus C^\infty(E_1)\to C^\infty(E_0)\oplus C^\infty(E_1), $$

$$\mathscr{D}(u_0\oplus u_1)= (D^*u_1)\oplus (D u_0). $$

Entonces $D$ es de tipo Dirac si $\mathscr{D}^2$ es un laplaciano generalizado.

Los restos Weitzenbock de $D^\ast D$ y $D D^\ast$ implican términos de curvatura. Si el resto de Weitzenbock de $D^*D$ resulta ser un endomorfismo positivo de $E_0$ se puede concluir que

$$\ker D=\ker D^\ast D=0. $$

El operador Hodge-Dolbeault

$$\frac{1}{\sqrt{2}}(\bar{\partial}+\bar{\partial}^*): \Omega^{0,even}(M)\to \Omega^{0,odd}(M) $$

en una colector de Kahler $M$ es un operador de tipo Dirac. Para más detalles y ejemplos puede consultar la Sec. 10.1 y el Cap. 11 de mis apuntes de clase .

Answer 2

La versión más general de las identidades de Weitzenbock (con coeficientes en álgebras envolventes universales apropiadas) se debe a Uwe Semmelmann y Gregor Weingart: http://arxiv.org/abs/math/0702031 "La máquina Weitzenböck.

Answer 3

En cuanto a referencias, puedes leer sobre la técnica de Bochner en H.Wu, "The Bochner technique in differential geometry". Para algunas aplicaciones de la fórmula de Lichnerowicz puede consultar el capítulo 3 de Berline, Getzler, Vergne, "Heat Kernels and Dirac operators", y los capítulos 3 y 5 de "Dirac Operators in Riemannian geometry" de T. Friedrich.

Answer 4

No conozco ninguna definición precisa de las identidades Weitzenbock, que están estrechamente relacionadas con la técnica Bochner o también se conocen como tal. Básicamente es una forma de escribir algún operador diferencial lineal de segundo orden definido invariantemente $D$ en un haz vectorial sobre una variedad (a menudo compleja) de dos formas distintas. Una de ellas, escrita normalmente en términos de un operador cofronterizo y su adjunto, muestra que el núcleo del operador es un invariante topológico u holomórfico interesante (normalmente algún tipo de cohomología). La otra forma es $D = P^*P + R$ donde $P$ es un operador lineal de primer orden y $R$ es un tensor geométrico definido de forma natural, normalmente llamado algún tipo de curvatura. Esto permite que el núcleo de $D$ que debe estudiarse con hipótesis adecuadas sobre $R$ (normalmente que sea positiva o no negativa definida) estudiando el núcleo de $P$ .

Además, se pasa de una forma del operador a la otra conmutando las derivadas covariantes, que es como el operador $0$ -término de curvatura de orden $R$ aparece.

Answer 5

También le puede resultar divertido el artículo de Bérard "De los teoremas de fuga a los teoremas de estimación: la técnica de Bochner revisitada", http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.bams/1183554720