Ejercicio de geometría algebraica Hartshorne II.2.16.

Question

Para la parte a) de este ejercicio necesitamos demostrar que para un esquema $X$ y un subconjunto afín abierto $U=$ Espec $B$ que $U \cap X_f = D(\bar{f})$ donde $\bar{f}$ es la restricción de $f \in \mathcal O_X(X)$ a $\mathcal O_X(U)$ y $X_f= \{x \in X :$ el tallo de $f$ en $x$ $(f_x)$ no está contenido en el ideal maximal $(m_x)$ de $\mathcal O_x \}$ .

Ahora creo que la prueba es algo parecido a usar el hecho de que este ideal maximal en el esquema afín es simplemente $xB_x$ pero no veo cómo $f_x \not\in m_x$ implica $\bar{f}_x \not\in xB_x$ . Al igual que cómo podemos ir desde el anillo local $\mathcal O_x$ a $B_x$ ?

Answer 1

Tenga en cuenta que para cualquier $x\in U$ tenemos $\bar{f}_{x}=f_{x}\in \mathcal{O}_{x}=B_{x}$ y $\mathfrak{m}_{x}=xB_{x}$ . Esto se cumple por definición del colímite: las vecindades abiertas de $x$ contianed in $U$ son una familia cofinal. Pero entonces tenemos $f_{x}\in \mathfrak{m}_{x}$ sólo si $\bar{f}_{x}\in xB_{x}$ de modo que $U\cap X_{f}=\{ x\in \operatorname{Spec}{B} \mid \bar{f}_{x}\notin xB_{x}\} $ es decir, los ideales primos tales que $\bar{f}$ es invertible en la localización correspondiente, lo que significa precisamente que $\bar{f}$ no está en el ideal primo. Por lo tanto $D(\bar{f})$ .

Editar (¿por qué $\mathcal{O}_{x}=B_{x}$ ?)

Por definición, $\mathcal{O}_{x}$ es el límite directo $$ \mathcal{O}_{x}=\lim_{x\in V\subseteq X}\mathcal{O}(V)$$

Esto significa que cada vez nos fijamos en barrios más pequeños e identificamos secciones con sus correspondientes restricciones. Hacemos esto hasta que obtenemos los gérmenes $f_{x}\in \mathcal{O}_{x}$ que son, por definición, clases de equivalencia representadas por pares $(V,s)$ con $V$ una vecindad abierta de $x\in X$ y $s\in \mathcal{O}(V)$ bajo la relación de equivalencia $(V_{1},s)\sim (V_{2},t)$ si y sólo si podemos encontrar una vecindad abierta $W\subseteq V_{1}\cap V_{2}$ de $x\in X$ tal que $s|_{W}=t|_{W}$ .

Desde $U=\operatorname{Spec}{B}$ es una vecindad abierta de $x\in X$ cualquier $(V,s)$ está relacionado con $(V\cap U, s|_{V\cap U})$ . Por lo tanto $$ \lim_{x\in V\subseteq X}\mathcal{O}_{X}(V)=\lim_{x\in V\subseteq \operatorname{Spec}{B}}\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}{B}}(V) $$

Esta última expresión es $B_{x}$ por construcción del esquema afín $(\operatorname{Spec}{B},\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}{B}})$ .

Se trata de un caso particular de familia cofinal. Son útiles para calcular colímites en muchas situaciones. Otro ejemplo útil: los subconjuntos abiertos afines también son una familia cofinal, ya que forman una base para la topología. Así que cofinal significa lo siguiente: usted está tomando el límite directo sobre algún conjunto dirigido $(I,\leqslant)$ es decir, un conjunto parcialmente ordenado tal que cada dos elementos tienen un límite superior. Un subconjunto $J\subseteq I$ se denomina cofinal si cada $i\in I$ está limitada por encima por algún $j\in J$ . La (sub)familia indexada por $J$ se denomina entonces familia cofinal, y podemos calcular el colímite sobre este nuevo conjunto de indexación.