Demostrar que si $C$ es un conjunto convexo que contiene $B(r)$ entonces $\sup\{d(y,0)\mid y\in C\}=\infty$

Question

Sea $0<p<1$ . Definir una métrica en $l^p$ por $d((a_k)_{k=1}^\infty,(b_k)_{k=1}^{\infty})=\sum_{k=1}^\infty |a_k-b_k|^p$ . Para cualquier $r>0$ , dejemos que $B(r)=\{x\in l^p\mid d(x,0)<r\}$ . Demostrar que si $C$ es un conjunto convexo que contiene $B(r)$ entonces $\sup\{d(y,0)\mid y\in C\}=\infty$ . Deduzca que $l^p$ no es un espacio vectorial topológico localmente convexo.

¿Cómo demostrar esta pregunta? Gracias.

Answer 1

Sugerencia: denotar por $e_n$ el $n$ -ésimo vector de la "base canónica" de $\ell^p$ calcular $d(x_N, 0)$ para cada $N\in\mathbb N$ donde $x_N=\frac 1N \sum_{n=1}^N e_n$ .