Tengo que mostrar a $(1+\frac1n)^n$ es monótonamente creciente de la secuencia

Question

Tengo que mostrar a $(1+\frac1n)^n$ es monótonamente creciente de la secuencia.

$U_n=(1+\frac1n)^n$, $U_{n+1}=(1+\frac1{n+1})^{n+1}$

Quiero mostrarles $U_{n+1}-U_n\geq0$

es decir, para mostrar $(1+\frac1{n+1})^{n+1}-(1+\frac1n)^n\geq0$

Estoy tratando de ir por delante de este paso.

Answer 1

Usamos la desigualdad entre la media geométrica y la media aritmética de la siguientes números positivos $$ x_{1}=1,~x_{2}=x_{3}=\ldots=x_{n+1}=1+\frac{1}{n}\text{.}% $$ Entonces $$ \sqrt[n+1]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n+1}}<\frac{x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n+1}}{n+1}% $$ (la desigualdad es estricta, ya que los números no pueden ser todos iguales) se traduce en la $$ \left( 1+\frac{1}{n}\right) ^{\frac{n}{n+1}}<\frac{1+n\left( 1+\frac{1}{n}\right) }{n+1}=1+\frac{1}{n+1}% $$ por lo tanto $a_{n}<a_{n+1}$.

Answer 2

$$x_n=\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^n\longrightarrow x_{n+1}=\bigg(1+\frac{1}{n+1}\bigg)^{n+1}$$ $$\frac{x_{n+1}}{x_{n}}=\frac{(1+\frac{1}{n+1})^{n+1}}{(1+\frac{1}{n})^{n}}=\bigg(\frac{1+\frac{1}{n+1}}{1+\frac{1}{n}}\bigg)^n\bigg(1+\frac{1}{n+1}\bigg)=\bigg(\frac{n(n+2)}{(n+1)^2}\bigg)^n\bigg(1+\frac{1}{n+1}\bigg)$$ $$=\bigg(1-\frac{1}{(n+1)^2}\bigg)^n\bigg(1+\frac{1}{n+1}\bigg)≥\bigg(1-\frac{n}{(n+1)^2}\bigg)\bigg(1+\frac{1}{n+1}\bigg)$$ $$≥^*\frac{1}{1+\frac{1}{n+1}}\bigg(1+\frac{1}{n+1}\bigg)≥1$$ Esto significa que su secuencia es cada vez mayor.

≥*: $$(n+2)(n^2+n+1)=(n+2)\bigg((n+1)^2-n\bigg)≥(n+1)^3$$

Answer 3

Tomar logaritmos. Usted necesita para comparar la $n\ln(1+\frac{1}{n})$$(n+1)\ln(1+\frac{1}{n+1})$. Debido a que el logaritmo es estrictamente cóncava, la función (definida positiva $x$) $$\frac{\ln(1+x)}{x}=\frac{\ln(1+x)-\ln(1)}{(1+x)-1}$$ es estrictamente decreciente (y tiende a $1=\ln'(1)$ $x$ tiende a $0$.) Aplicar esto a la striclty disminución de la secuencia $1/n$ y se obtiene que la secuencia $$\frac{\ln(1+1/n)}{1/n}\mathrm{~is~strictly~increasing.}$$ Of course $\frac{\ln(1+1/n)}{1/n}=n\ln(1+\frac{1}{n})$, so, upon exponentiating, $U_n$ is strictly increasing (and tends to $e$.)

Answer 4

Si expande $(1+\frac1n)^n$ por el teorema del binomio, el término que involucra $1^{n-k}(\frac1n)^k$ $\binom{n}{k}/n^k$ (me tome un plazo de existir, y ser $0$, en el caso de $k>n$). Si se puede demostrar que cada término es una monótonamente creciente expresión en $n$, entonces, sin duda, la suma de todos los términos será un monótonamente creciente expresión en $n$ (esto implica formalmente sumar una infinidad de expresiones, pero en la comparación de $U_n$ $U_{n+1}$ sólo un número finito de términos están involucrados, por lo que no hay necesidad de tomar límites). Ahora podemos escribir $$ \frac{\binom{n}{k}}{n^k}=\frac1{k!}\cdot\frac{n}{n}\frac{(n-1)}n\cdots\frac{(n-k+1)}n =\frac1{k!}(1-\frac1n)(1-\frac2n)\ldots(1-\frac{(k-1)}n) $$ Esta expresión es igual a cero mientras $n<k$, y más allá de ese punto, todos los factores son positivos y sea independiente de $n$ o el aumento de las expresiones en $n$. Podemos concluir que el plazo $k$ es constante para $k\leq1$, y un débil aumento de la función de $n$, estrictamente creciente tan pronto como sea distinto de cero, por $k\geq2$. Esto demuestra el resultado.

Answer 5

SUGERENCIA: Diferenciar con respecto a $n$. Probar que esto es siempre creciente.

Nota al margen: ¿sabes lo $a_n$ es?

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Así que tenemos $f(x) = \left(1+\frac1{n}\right)^n$

$\log(f(x)) = n\log\left(1+\frac1{n}\right)$

$\log(f(x)) = n\log\left(n+1\right) - n\log(n)$

Intentar diferenciar ahora.