¿Cabe toda elipse dentro de un tetraedro dentro de una bola en un triángulo dentro de la bola?

Question

En el espacio euclídeo tridimensional, consideremos la bola unitaria cerrada $B$ . Sea $T$ sea un tetraedro, y $E$ una elipse, con $E \subset T \subset B$ . ¿Existe necesariamente un triángulo $T'$ con $E \subset T' \subset B$ ?

Está claro que si 1 vértice del tetraedro está en un lado del plano de la elipse y los otros 3 vértices están en el otro lado, la intersección del plano con el tetraedro da un triángulo. El caso interesante es cuando 2 vértices del tetraedro están en cada lado del plano.

Trabajo en teoría cuántica de la información y he llegado a una conjetura que, sorprendentemente, es cierta sólo si la respuesta a la pregunta anterior es "sí". Como esto está muy lejos del tipo de cosas en las que pienso normalmente, ni siquiera sé por dónde empezar a buscar en la literatura matemática, así que incluso una simple indicación sería de gran ayuda.

Answer 1

Sospecho que la respuesta es sí. Permítanme pintar un cuadro de palabras, que no será tan hermoso como la contribución de Joseph O'Rourke, pero puede ser igual de útil.

Consideremos todos los planos que pasan por el tetraedro y que son paralelos al plano de la elipse. Como señala Matt, el caso interesante es cuando la elipse se encuentra en la sección transversal del tetraedro que no es un triángulo. Creo que se pueden utilizar algunas estimaciones de tipo Cavalieri para acotar el tamaño y la forma del rectángulo y obtener una respuesta afirmativa. Otra idea es reflejar el tetraedro a través de un plano bisectriz de un ángulo que intercambie dos dos aristas adyacentes del cuadrilátero que lo encierra, y utilizarlo para construir un triángulo que encierre la elipse. Cualquier triángulo de este tipo que se extienda fuera de la esfera original dice algo sobre el tetraedro, en cuyo caso puede demostrarse que puede utilizarse otro par de aristas para construir el triángulo deseado.

Otra idea es que el vértice y las dos aristas incidentes opuestas a un determinado vértice del cuadrilátero delimitador pueden representar un punto en una de las aristas tetraédricas y dos líneas en caras diferentes, y que "girando" la arista tetraédrica se puede construir un triángulo delimitador que se mantenga dentro de la esfera delimitadora.

Espero que estas palabras sean tan sugerentes como la imagen, que espero que Joseph deje en pie.

Gerhard "Ask Me About Suggestive Writing" Paseman, 2012.09.28